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Montrer qu'un nombre est un majorant
Bonsoir,
Je suis en 1ère S et demain, j'ai un DS de math 
J'ai pas mal révisé sur mon ancien DS et il y a une question que je ne comprends toujours pas, la voici :
Soit la fonction f définie sur ]-
;1[U]1;+[ par f(x) = 2x-1/x-1
- Montrer que 2 est un majorant pour la fonction f sur l'intervalle ]-;1[
- Est-ce un maximum pour la fonction sur ce même intervalle ?
J'ai fait :
f(x) 
2
f(x)-2 0
2x-1/x-1 - [2(x-1) / x-1 ] 0
1/x-1 0 ( après développement )
Ca me semble logique mais maintenant comment prouver qu'il est majorant sur cet intervalle ? Que signifie exactement la résultat que je viens de trouver ?
Pour prouver que c'est un maximum ( ou pas ), j'ai fait pareil mais avec = au lieu de dans l'équation, mais il persisite le problème de l'intervalle... Auriez-vous des solutions ? Merci 
Bonjour,
Tu viens de montrer que f(x)-2=1/(x-1)
Pour x<1, c'est effectivement négatif.
Donc f(x) est bien majorée par 2. (f(x)<2)
2 est un maximum s'il existe x tel que f(x)=2. Ou encore 1/(x-1)=2.
Vérifie, mais cette équation n'a pas de solution avec x<1.
comment prouver qu'il est majorant sur cet intervalle ?
Prouver que quoi est un majorant de quoi ?
Pour montrer que 2 est un majorant pour la fonction f sur l'intervalle ]-
;1[, il faut précisément montrer que f(x) ≤ 2 sur cet intervalle.
Tu aboutis par équivalence à 1/(x-1) ≤ 0, ou mieux encore x-1 ≤ 0, soit x ≤ 1, ce qui est bien vérifié sur l'intervalle en question.
Que signifie exactement la résultat que je viens de trouver ?
Que tu viens de démontrer ce que tu souhaitais.
Pour prouver que c'est un maximum ( ou pas ), j'ai fait pareil mais avec = au lieu de ≤
Ce qui aboutit donc à x = 1. Cette valeur fait-elle partie de l'intervalle considéré ? Conclusion ?
un majorant ou un maximum c'est la même chose?
Très bonne question.
On vient, en somme, de prouver que non, sur l'intervalle considéré.
Avec des hypothèses données:
- un majorant n'est pas nécessairement un maximum
- un maximum est un majorant particulier.
Sur l'intervalle considéré:
2 est un majorant, puisqu'on a montré que f(x) ≤ 2 .
Mais 2 n'est pas un maximum, car f(x) ne peut pas être égal à 2.
(on aboutit à l'équation 1/(x-1) = 0, qui est impossible, une fraction ne peut être nulle que si son numérateur est nul)
Par ailleurs:
- un majorant n'est pas unique: 2 est un majorant, mais aussi 3, 10, ... puisque ces nombres sont eux aussi supérieurs à f(x) sur l'intervalle
- un majorant n'est pas toujours atteint (une valeur prise par la fonction). f(x) ne peut pas prendre la valeur 2, sur cet intervalle. Un maximum est une valeur atteinte. Si M est un maximum, il y a une valeur a de x telle que f(a) = M .
On aurait pu prendre aussi l'exemple de l'intervalle ]-
, 1[ lui même: 1 est un majorant de cet ensemble. Ce n'est pas un maximum de cet ensemble, car il n'en fait pas partie.
Néanmoins, on voit que la valeur 2 pour f(x), et la valeur 1, pour l'intervalle, sont des majorants en quelque sorte meilleurs que les autres: pour le problème considéré, on ne peut pas en trouver de strictement plus petit:
- dans l'intervalle ]-
, 1[ , il n'y a pas de majorant strictement plus petit que 1
- pour f(x) sur ce même intervalle, il n'y a pas de majorant strictement plus petit que 2.
On parle alors de "borne supérieure" pour qualifier un tel majorant.
Si une borne supérieure est atteinte, alors, les trois notions (borne supérieure, majorant, maximum) coïncident dans ce cas. L'exemple ci-dessus montre que ce n'est pas toujours vrai.
Ces notions (et celles correspondantes de minorant, minimum, et borne inférieure), sont donc des notions délicates. Elles sont à la base de la partie des mathématiques appelée "analyse" (étude des fonctions). On est bon en analyse quand on a compris ces notions (et qu'on sait calculer ...).
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