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Posté par brutosaure
Bonjour,
Pourriez vous m'aider pour cet exercice et me dire si mon traitement de l'exo est bon ou pas.Merci
Voici l'intitulé :
1) Montrer que si a et b sont deux nombres entiers quelconques,l'un au moins des quatre nombres a,b, a+b ou a-b est divisible par 3
2) En déduire que le produit de ab( a2-b2) est multiple de 3
1) Je sèche.Je me suis dit qu'il y avait un truc à faire avec les pairs et impairs parce que 3 est un nombre impair.Ce que j'ai fais
Si a,b, a+b ou a-b sont multiples de 3
alors a= kx3
ou b= kx3
ou a+b = kx3
ou a-b= kx3
2)Et donc leurs produits est aussi multiple de 3
abx(a+b)x(a-b)=ab(a2-b2)=kx3
1)
Si a ou b est multiple de 3 ... c'est démontré.
Si a n'est pas divisible par3, il peut s'écrite soit a = 3k1 + 1, soit a = 3k1 + 2 (avec k1 entier)
et si b n'est pas divisible par3, il peut s'écrite soit b = 3k2 + 1, soit b = 3k2 + 2 (avec k2 entier)
3 cas peuvent alors se présenter :
1°) a = 3k1 + 1 et b = 3k2 + 1
on a alors a-b = 3(k1-k2) et donc (a-b) est divisible par 3
2°) a = 3k1 + 1 et b = 3k2 + 2 ou bien a = 3k1 + 2 et b = 3k2 + 1
on a alors a+b = 3(k1+k2) + 3 = 3.(1 + k1+k2) et donc (a+b) est divisible par 3
3°) a = 3k1 + 2 et b = 3k2 + 2
on a alors a-b = 3(k1-k2) et donc a-b est divisible par 3
Et donc ...
*****
2)
ab( a²-b²) = a*b*(a-b).(a+b)
et on a montré dans la question 1 et au moins un des nombre a, b , (a-b), (a+b) était multiple de 3
--> ab( a²-b²) est multiple de 3
*****
1) Oui, le produit des quatre nombres a*b*(a + b)*(a - b) doit être multiple de 3.
Si a ou b est multiple de 3, c'est bien exact.
Que se passe-t-il si aucun des nombres a et b n'est multiple de 3 ?
Pour étudier cette éventualité, tu pourrais remplacer a par 3m 
1 et b par 3n 1 et étudier chacun des quatre caS correspondants.