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nombre d or
salut, j'ai un exercice de math que je n'arriva pas à résoudre, si quelqu'un peut m'aider...
Voici l'énoncé:
le nombre d'or est défini comme étant le rapport Longueur/largeur d'un rectangle ABCD qui possède la propriété suivante : qd on découpe un carré ABEF, les proportions du rectangle CDFE restant sont les mêmes que celles du rectangle ABCD. On note L=AD, l=AB et x=AD/AB.
1)Prouver que l²=L(L-l)
2) En utilisant le fait que L=l former une équation du 2nd degré E vérifiée par x
3)Prouver que x²-x=(x-(1/2))²-(1/4). En déduire les valeurs exactes des solutions de E
4) Quelle estla valeur exacte du nombre d'or?
Voilà, voilà, c'est un peu long alors merci à celui ou celle qui prendra le temps de m'éclairer.
1)
Soit L/l, le rapport des cotés du rectangle ABCD et
l/(L-l), le rapport des cotés du rectangle CDFE.
Ces rapports doivent être les mêmes, donc
L/l = l/(L-l)
On multiplie les 2 cotés de l'expression par l*(L-l)
et on trouve l^2 = L(L-l)
2) Je ne suis pas sur, mais je pense qu'il faut utiliser L = 1 (un), pas L = l . Peux-tu confirmer.
on ne peut pas utiliser L=1 puisque c'est l'énoncé qui donne l'information...et merci pour la première réponse
2)
Il faut utiliser l=1. C'est plus simple, car on obtiendra directement le nombre d'or.
Il faut repartir de la relation
L(L-l) = l^2. (1)
Avec l = 1, l'équation (1) devient
L(L-1) = 1 . (2)
ou
L^2 - L - 1 = 0 . (3)
L'équation (3) est l'équation du second degré demandée au point 2.
Si on utilise L = 1, on obtient l'équation
l^2 + l -1 = 0 . (4)
3)Pour prouver que
x^2 - x = (x-1/2)^2 - 1/4, (5)
il faut utiliser les produits remarquables: le membre de droite est une différence de deux carrés:
A^2 - B^2 = (A-B)*(A+B)
Donc, l'équation (5) devient (avec A = x-1/2 et B=1/2)
x^2 - x = (x-1/2-1/2)*(x-1/2+1/2), (6)
ou encore, après avoir effectuer
x^2 - x = (x-1)*x . (7)
Enfin, en distribuant dans le membre de droite de l'équation (7), on obtient l'égalité évidente:
x^2 - x = x^2 - x. (8)
On va utiliser la relation (5) pour résoudre l'équation (3). Je remets l'équation (3) sous la forme:
L^2 - L = 1. (9)
Je remplace le membre de gauche de l'équation (9)
L^2 - L
par le membre de droite de l'équation (5) (en remplaçant x par L),
(L-1/2)^2 - 1/4,
et j'obtiens:
(L-1/2)^2 - 1/4 = 1 . (10)
J'ajoute 1/4 aux deux membres de l'égalité (10), cela donne
(L-1/2)^2 = 1 + 1/4, (11)
ou encore
(L-1/2)^2 = 5/4. (12)
Je prends la racine carrée positive des deux membres de l'égalité (12), et j'obtiens:
L - 1/2 = (
5)/2 (13)
Enfin, j'ajoute 1/2 aux deux membres de l'égalité (13) et j'effectue les calculs pour obtenir:
L = (1+5)/2 (14)
4) Avec tout cela, je n'ai pas encore le nombre d'or, mais je sais que je suis très proche car je connais la valeur. 
Le nombre d'or est donnée par le rapport L/l. Avec tout ce que l'on a fait avant, on trouve que le nombre d'or noté en général par la lettre greque 
(phi) est égale à
L/l = (1+5)/2
puisque l = 1. C'est pour cela que j'ai choisi de travailler avec l'hypothèse de l=1 plutôt que L=1.
Je te laisse faire les calculs en partant de L=1.
Bon travail, et bonne soirée.
Si cela t'interesse:
http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm#definition
Il y a plus simple pour avoir l'équation du second degré sans poser l=1 ou L=1.
Tu prends la formule (1)
L(L-l) = l^2
et tu divises les deux membres par l^2. Cela donne
L/l * (L/l - 1) = 1 (15)
Par définition du nombre d'or = L/l, et en substituant dans (15) on obtient :
* ( - 1) = 1 (16)
Cette fois, on obtient la même équation du second degré, mais maintenant l'inconnue est le nombre d'or.
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