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nombre dérivé et tangente ( a et a+h)

Posté par
lesty54
08-11-21 à 18:34

Bonjour,
Voilà, j'essaie depuis plusieurs heures un exercice et je ne comprend pas . Celui ci porte sur l'étude de la dérivabilité  de deux fonctions en un réel a quelconque, f et g. F et g étant définie sur R par f(x)=mx+p ( ou m et p sont des constantes réelles quelconques) et g(x)=-5x^2+2x.  Dans la suite, h désigne un réel non nul.
Je soit en 1, exprimer le taux de variation de f entre a et a+h.
Et en 2, en déduire que f est dérivable en a e que, pour tout a E R, on a f'(a)=m

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 18:41

bonsoir lesty54

il aurait été préférable que tu recopies ton énoncé au mot près,
plutôt que de le raconter.
là, ce n'est pas vraiment clair; je te conseille de l'écrire exactement tel qu'il est donné.

ensuite, qu'est-ce qui te gène dans la question 1 ?
qu'as-tu déjà fait ?

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 18:43

* gêne

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 18:46

Énoncé On considère les fonctions f et g définies sur R respectivement par f (x) = mr+ p (où m et p sont
des constantes réelles quelconques) et g(1)=-5x^2+ 2x. L'objectif de cet exercice est d'étudier la dérivabilité
des fonctions f et g en un réel a quelconque. Dans la suite, h désigne un réel non nul.
1. a. Exprimer le taux de variation de f entre a et a +h.
b. En déduire alors que f est dérivable en a et que, pour tout a ER, on a f'(a) = m.

Voilà l'énoncé, merci pour votre réponse si vite.
Je suis totalement perdu dans ce chapitre c'est pourquoi j'aimerais voir cette exercice fait et correct pour comprendre mon cours

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 18:48

ok
1a) que dit le cours sur ce taux de variation
quelle est la formule à appliquer ?

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 18:51

f(a+h)-f(a)  

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 18:53

il en manque un bout

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 18:54

Voici une photo de mon cours

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 18:55

Ceci ?


* Modération > Image effacée. Merci d'utiliser les outils mis à ta disposition pour écrire les formules mathématiques *

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 18:57

cette photo est inutile, elle risque d'être supprimée par la modération (règlement ^^).


a et a+h étant les abscisses de 2 points de la courbe,
le taux de variation entre  a et a +h est le nombre :

\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}

tu sais que f(x) = mx+p
donc

f(a) = ...
f(a+h) - f(a) = ...

puis taux de variation = ....?

vas-y essaie

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 19:07

j'étais en train de te faire un schéma dans le style de document;
mais je vais m'appuyer sur le tien pour t'expliquer en attendant ta réponse.

sur la courbe de la  fonction de ton cours, A et M appartiennent à la courbe.
le point A a pour abscisse a
le point M a pour abscisse a+h

très concrètement, le taux de variation \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}
est la pente de la droite (AM).

si cette pente (= un nombre) est positive, la droite (AM) "monte"
si cette pente est négative, la droite (AM) "descend"

sur ton exemple, il est clair que le taux de variation entre a et a+h est positif.

as-tu compris déjà ceci?

----

j'attends ta proposition pour 1a

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 19:24

Oui j'ai compris ce que vous venez de dire

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 19:25

F(a) = ma+p ?

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 19:30

f(a+h)=(a+h)^2+a(a+h) ?

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 19:39

Ou alors c'est plutôt
f(a+h)=m'a+ma+p

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 19:43

f(a) = ma+p    ----  ceci est juste

f(a+h)=m'a+ma+p  --- non, que vient faire un m' ici

puisque   f(x) = mx+p ,        f(a+h ) = m(a+h )+p  = développe si tu veux

et donc    \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} =

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 19:43

Le résultat est t il mh+2p le tt sur h

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 19:45

J avais bien torve m(a+h) +p mais je pensais cela faux

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 19:47

19h43  non

montre le détail, tu as fait une erreur de signe

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 19:47

Donc f(a+h)-f(a) le tt sur h =  m(a+h)+p-mx+p le tt sur h ?

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 19:53

c'est - f(a)   :  le signe "moins" se distribue à mx ET à p

\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \dfrac{m(a+h) + p - (am + p )}{h} =  \dfrac{am + hm + p - am - p}{h}  =
simplifie
que reste-t-il à la fin ?

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 19:55

Il reste hm/h !?

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 19:56

oui
et comme h est non nul, le taux de variation est égal à  ..?

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 19:57

égal a  M ?

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 19:59

m, pas M

oui
le taux de variation en a de la fonction f est égal à m
(le coeff direction de la courbe de f, d'ailleurs)

question 2)
regarde ton cours (§ 2) :
à quelle condition la fonction f sera dérivable en a ?

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:02

Quand H est nul ?

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:09

non, ce n'est pas ce que dit le cours

le cours dit que f est dérivable en a
lorsque la limite (lorsque h tend vers 0) du taux de variation est un réel.

ici,  la fonction f est une fonction très simple (fonction affine)

taux de variation en a = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \dfrac{hm}{h}  = m

lorsque h tend vers 0 (=devient très petit), la limite de ce taux de variation est (reste) le réel m,
(puisqu'ici le taux de variation ne dépend pas de h.)

donc
la fonction f est-elle dérivable en a ) ?

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:11

b. En déduire alors que... pour tout a R, on a f'(a) = m.

qu'est-ce que la notation f'(a) ?
relis le cours et dis moi

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:14

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a un réel de cet intervalle et
Cf la courbe représentative de la fonction f.
Si f est dérivable en a, la tangente à la courbe Cf au point A est la droite passant par A
de coefficient directeur f'(a).

L'équation réduite de la tangente au point A (a; f(a)) dans le repère (0,1,J)
est: y = f'(a) (x - a) + f(a)

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:16

hum... là tu es un peu trop loin dans le cours.

regarde plutot l'encadré du 2. sur le nombre dérivé.
c'est pile-poil la réponse eux 2 questions du  1b)

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:17

* aux 2 questions

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:20

Oui,

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de cet intervalle.
On dit que f est dérivable en a si le taux de variation de f en a admet pour limite un
nombre réel lorsque h tend vers 0.
Ce nombre, noté f' (a) est appelé nombre dérivé de f en a.
Lorsque f est dérivable en a, on a : f'(a) = lim R->0
f(a+h)-f(a)

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:23

bien mais tu n'as pas répondu à mes questions

1b)
1ère question
la fonction f est-elle dérivable en a ) ?    --> à ton avis (relis 20h09)

En déduire alors que... pour tout a R, on a f'(a) = m.  --> d'après le cours,  à ton avis (relis 20h11)

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:24

Oui elle est dérivable en a

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:25

je rectifie une erreur de recopie du cours

lesty54 @ 08-11-2021 à 20:20

... .
Lorsque f est dérivable en a, on a :
f'(a) = lim   (f(a+h)-f(a)) / h
            h->0

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:26

f'(a) est un nombre réel qui est la limite du taux de variation de f en a

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:26

oui, elle est dérivable en a
puisque la limite du taux de variation tend vers un réel (ici, m)

2ème question ?

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:27

lesty54 @ 08-11-2021 à 20:26

f'(a) est un nombre réel qui est la limite du taux de variation de f en a

exact
et ce nombre (= cette limite réelle) s'appelle le nombre dérivée en a

donc ici, f '(a) = ...?

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:28

* nombre dérivé  (sans e)

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:29

avant de continuer pour la fonction g,

as-tu besoin d'explications pour l'interprétation géométrique du nombre dérivé, ou pas ?

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:29

f'(a)=lim R->0 f(a+h)-f(a) le tt sur h
Donc lim r-> de m ?

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:31

La forme géométrie ne dit pas non,
Pour g je n'est pas besoin de la faire.
Là professeur nous expliqueras celui là

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:35

ce n'est pas R qui tend vers 0, c'est h, attention

note bien l'écriture à respecter :

f '(a) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h\to 0} m = m

le nombre dérivé de la fonction f en a, noté f '(a), est m.

est-ce plus clair ainsi ?

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:37

Oui grâce à vous j'ai enfin compris les bases de mon chapitre, il étais temps… merci à vous

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:45

interprétation géométrique du nombre dérivée.
je vais prendre le schéma de ton cours, car pour la fonction f, ce serait moins 'parlant'.

nombre dérivé et tangente  ( a et a+h)

courbe "quelconque" sur le schéma
observe les positions des points A et M, d'abscisse respectives a et a+h.
repère la droite (AM)  - colore-la éventuellement en rouge pour bien la visualiser.

imagine que le nombre h devienne très petit.
le point M, toujours sur la courbe, va se rapprocher de plus en plus du point A.

et si h continue à 'tendre vers' 0, les points A et M seront tellement proches que la droite (AM) sera proche de la tangente à la courbe au point A.

(euh... tu me suis toujours ?)

ainsi le nombre dérivé f '(a) , lorsque h est très petit,  est  le coefficient directeur de la tangente à la courbe en A.

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 20:48

je pense que si ton professeur envisage de faire avec vous  les mêmes questions pour la fonction g,
il reviendra sur l'interprétation géométrique du nombre dérivé.
(c'est toujours plus difficile à expliquer via un clavier :/)

je m'absente un peu, et reviendrai te lire, si tu as des questions.

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 21:21

vous expliquez tellement bien que j'ai  parfaitement compris l'interprétation géométrique. Vous avez sauvé ma moyenne de math

Posté par
carita
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 21:25

tant mieux si tu as saisi

reste bien attentif en cours pour la suite , ce chapitre est très important.

bonne continuation !

Posté par
lesty54
re : nombre dérivé et tangente ( a et a+h) 08-11-21 à 21:32

Merci pour tout, bonne continuation à vous aussi !



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