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nombre premier
Bonjour. Aidez moi svp
soit (n^3+n)/(2n+1) une fraction tel que n€N
a- prouver que tout diviseur commun d à 2n+1 et n^3+n est premier avec n
b-Déduire que d divise n^2+1 puis que d=1 ou d=5
c- Quelles sont les valeurs de n pour lesquelles la fraction est irréductible?
merci d'avance
Demat
Soit un diviseur de
. Il existe
tel que
c'est à dire tel que
.
Ceci permet d'affirmer que et
sont premiers.
s'il vous plait. J'ai pas compris
Il existe un théorème, corollaire de Bézout, qui dit :
"a et b sont premiers entre eux si,et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que : au+bv=1"
Ici a=d, v=n, u=d, v=-2
merci mais je ne connais pas ce théorème donc je ne peux pas l'utiliser.. Y a t-il une autre solution
Bonjour,
on peut faire la 1 sans Bézout du tout et en restant "dans N"
soit p un diviseur de n et 2n+1
comme il divise n, il divise aussi 2n
divisant 2n et 2n+1, il divise leur différence 1
donc n et 2n+1 sont premiers entre eux
tout diviseur d de 2n+1, qu'il divise n3 + n ou pas, est donc premier avec n
la question est stupide
tout diviseur d commun à 2n+1 et à n'importe quoi est premier avec n
pour la 1ere partie de la 2
si d divise 2n+1 et n3 + n = n(n2+1), comme il est premier avec n (question 1) ...
la suite : il s'agit de prouver que tout diviseur d commun à 2n+1 et à n²+1 est forcément 1 ou 5
en utilisant le fait que ce diviseur divise alors (2n+1)², 4n+2, et 4n²+4 (qui sont juste des multiples de 2n+1 et n²+1) et "certaines" de leurs somme / différence, prouver que d divise 5
(c'est à dire réussir à éliminer n et n² dans tout ça)
la c en découle puisque on vient de prouver que si jamais la fraction se simplifie, elle se simplifie au mieux une seule fois par ce fameux diviseur d qui est 1 (la fraction est irréductible) ou 5.
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