Bonjour à tous, voici le sujet de mon DM de maths, pouvez vous m'aider à la faire car j'ai quelques problèmes...

Dans un problème récréatif posé dans l'un de ses ouvrages , le LiberAbaci, Fibonacci décrit la croissance d'une population de lapins : "Possédant initialement un couple de lapins (mâle et femelle), combien de couples obtient on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à à compter du second mois de son existence ?"

Ce problème est à l'origine d'une suite qui sera notée (F_n) dont le n-ième terme correspond au nombre de couples de lapins du n-ième mois. Dans cette population (idéale), on suppose que :
-le premier mois, il y a juste un couple de laperaux
-les lapereaux ne sont pubères qu'à partir de leur 2ème mois
-chaque mois, tout couplesucceptible de procréer engendre effectivement un nouveau couple (mâle-femelle)
-les lapins ne meurent jamais

Dans toute la suite, on notera = (1+5)/2 et = (1-5)/2

Partie 1 : Expression récurrente de la suite de Fibonacci
1- Calculer les 12 premier termes de la suite (F_n). (On commencera à F₀)
2- En déduire une relation entre F_n+2, F_n+1et F_n; n0

Partie 2:
On cherche une suite définie par la relation U_n+2= U_n+1+U_n (R)
1-  Supposons que (U_n) soit une suite géométrique qui vérifie la relation (R). Quelles sont ses raisons possibles ?
2- Supposons que V_n et W_n soient deux suites qui vérifient la relation (R). on fixe deux constantes réelles arbitraires a et b. montrer que la suite (Z_n) définie par : n , Z_n = aV_n + bW_n vérifie aussi la relation (R)

Partie 3 : La suite de Fibonacci
1-Montrer que ² = +1 et ² = +1 . Montrer que l'on a aussi + = 1 et - = 5.
2-On suppose que (U_n) est une suite qui vérifie U_n= aⁿ + bⁿ et que U0=1 et U1=1. Que peut on dire des constantes a et b ?
3- Montrer que pour tout entier n on a F_n= (1/5) x (ⁿ⁺¹- ⁿ⁺¹ .
4- A l'aide de la calculatrice, déterminer F25


Merci par avance de votre aide ! =D