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Nombres réels

Posté par
Sims16 25-07-22 à 15:19

Bonjour à tous🙂 j'ai besoin d'aide.
Énoncé : soit b un nombre réel vérifiant b >v2 .
Démontrer les inégalités suivantes : 2/b<v2 et 1/2(b+2/b)>v2.
Pour la première inégalité j'ai essayé d'élever au carré mais ça n'aboutit pas à grand chose d'après moi😅.
Merci

Posté par
Razesre : Nombres réels 25-07-22 à 15:26

Bonjour,

Divise ta premier equation pa b\sqrt 2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres réels 25-07-22 à 15:30

Bonjour,
Quand on ne sait pas quoi faire pour démontrer une inégalité du type A < B, une méthode qui marche assez souvent est de transformer B-A en espérant pouvoir démontrer que c'est positif.
Ici, transforme 2 - 2/b.

P.S. Sous la zone de saisie, le bouton "" donne accès au symbole .
Faire "Aperçu" avant de poster.

Posté par
Sims16re : Nombres réels 25-07-22 à 17:06

Après avoir transformé en 2-2/b je procède comment ensuite svp

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres réels 25-07-22 à 18:07

Tu aurais 3 - (7/5), que ferais-tu ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nombres réels 25-08-22 à 04:54

Bonsoir



On a \Large\boxed{b\times\frac{2}{b}=\left(\sqrt2\right)^2} et donc \Large\boxed{\frac{b}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{\frac{2}{b}}} ...


L'inégalité arithmético-géométrique donne \Large\boxed{\frac{b+\frac{2}{b}}{2}>\sqrt{b\times\frac{2}{b}}} ... sauf erreur

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres réels 25-08-22 à 06:17

Bonjour,
Bonne idée de finaliser un sujet non résolu
Donnée : b > \sqrt{2}

1) Démontrer \dfrac{2}{b} < \sqrt{2}.
a) Méthode bulldozer :

\sqrt{2}-\dfrac{2}{b} = \dfrac{b\sqrt{2}-2}{b} = \dfrac{\sqrt{2}(b-\sqrt{2})}{b}
D'où \sqrt{2}-\dfrac{2}{b} > 0 qui donne \dfrac{2}{b} < \sqrt{2}.

b) Méthode plus rapide :
b > \sqrt{2} ; donc b > 0 et 1 > \dfrac{\sqrt{2}}{b}
En multipliant par \sqrt{2}, on obtient \sqrt{2} > \dfrac{2}{b}.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres réels 25-08-22 à 06:31

Donnée : b > \sqrt{2}

2) Démontrer \dfrac{b+\frac{2}{b}}{2}>\sqrt{2}
Ici, la méthode bulldozer fonctionne très bien :

\dfrac{b+\frac{2}{b}}{2}-\sqrt{2} = \dfrac{1}{2}(b+\dfrac{2}{b}-2\sqrt{2}) = \dfrac{b^2-2\sqrt{2}b+2}{b} = \dfrac{(b-\sqrt{2})^2}{b}
Et seul b > 0 est utile.

Posté par
carpediemre : Nombres réels 25-08-22 à 08:54

salut

méthode de collège : on remarquera que b est positif

d'autre part la fonction inverse est décroissante sur l'intervalle ]0, +oo[ donc :

b > \sqrt 2 \Longrightarrow \dfrac 1 b < \dfrac 1 {\sqrt 2} \Longrightarrow \dfrac 2 b < \sqrt 2   en multipliant par 2

pour le 2/ je ferai comme Sylvieg mais en calculatn directement dès le départ b + \dfrac 2 b - 2\sqrt 2 ... simplement pour me simplifier l'écriture ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres réels 25-08-22 à 09:22

Bonjour carpediem
On voit le sens de variation de la fonction inverse au collège maintenant ?

Posté par
carpediemre : Nombres réels 25-08-22 à 13:33

salut Sylvieg : autrefois oui ...

maintenant je l'ai dit "naturellement façon lycée" en français mais les élèves voient "plus ou moins" que deux inverses ne sont pas dans le même ordre que les nombres initiaux ... au moins sur des cas particuliers


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