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Olympiades

Posté par
Anaben33 12-02-18 à 22:22

Bonjour les gens , je viens ici pour vous demander la solution d'un exercice qui m'a donné énormément de mal le jour des olympiades :
a+xb+yc+z0
et a+b+c=x+y+z
Montrer que ay+bxac+xz

Posté par
Anaben33re : Olympiades 12-02-18 à 23:55

Personne?

Posté par
Jezebethre : Olympiades 13-02-18 à 01:02

Bonsoir, une proposition. A noter qu'il est tard et que je suis un peu fatigué alors relire bien chaque ligne avec un grand scepticisme.

a(y-c)-x(z-b)=a(a+b-x-z)-x(a+c-x-y)

\geq a(c-x-(x-b))-x(b-x-(c-x))

\geq (c-x)(a+x)+(b-x)(a-x)

\geq (b-x)(a-x)=(y+z-a-c)(y+z-b-c)

En posant A=y+z-a-c, on a minoré par

A(A-b+a)=A^2+A(a-b)

\geq A(y-x)=(y+z-a-c)(y-x)=(b-x)(y-x)=(b+y-y-x)(y-x)

=(b+y)(y-x)-(y-x)^2\geq 0

ce qu'il fallait démontrer.

Posté par
Anaben33re : Olympiades 13-02-18 à 02:05

Je ne comprend pas ce qui a été fait a la deuxieme ligne

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Olympiades 13-02-18 à 07:37

Bonjour,
On a bien a+b-x-z = a-z - (x-b) et a-z c-x qui donne a+b-x-z c-x -(x-b) .
Mais on ne connait pas le signe de a .
Idem avec a+c -x-y = a-y + (c-x) et a-y b-x qui donne a+c -x-y b-x + (c-x) mais pas b-x - (c-x)

Posté par
Jezebethre : Olympiades 13-02-18 à 14:03

Oui mais a est supérieur à -x, il doit aussi y avoir un 1 oublié qui se ballade...
Et la deuxième ligne c'est une coquille, c'est bien sûr -(x-c) pour continuer à minorer.

Mais ne vous prenez pas la tête dessus, je ne comprends déjà plus comment je m'y suis pris, ça m'a l'air assez sophistique. De toute façon il doit y avoir un "truc" élégant pour le faire.

Posté par
Jezebethre : Olympiades 13-02-18 à 22:27

Bon je reviens à la charge avec un peu plus de confiance cette fois, trêve de plaisanteries parce qu'il faut quand même faire des choses rigoureuses un jour.

On veut montrer :

a\alpha -x\beta \geq 0

avec

\alpha =y-c
\beta =z-b

DANS TOUS LES CAS :

\alpha \beta =(y-c)(z-b)\geq (z-b)^2\geq 0

\alpha -\beta =y-c-z+b\geq z-b-z+b=0

CAS 1

a\leq 0 \; et \; x\leq 0

On a a+x\geq 0 et a+x\leq 0 donc a+x=0

et finalement a=x=0, l'inégalité en découle trivialement.

CAS 2

(a\geq 0\; et \; x\geq 0)\; ou\; (a\leq 0\; et\; x\geq 0)

La quantité étudiée se réécrit

(x+\alpha +\beta )\alpha -x\beta =(\alpha +\beta )\alpha +x(\alpha -\beta )\geq \alpha ^2+\beta \alpha \geq \beta \alpha \geq 0

CAS 3

a\geq 0\; et\; x\leq 0

La quantité étudiée se réécrit

a\alpha -(a-(\alpha +\beta ))\beta =a(\alpha -\beta )+(\alpha +\beta )\beta \geq a(\alpha -\beta )\geq 0

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Olympiades 14-02-18 à 07:34

Bonjour,
D'où vient (y-c)(z-b) (z-b)2 ? On a besoin de z-b 0 pour le justifier.

Posté par
Jezebethre : Olympiades 14-02-18 à 17:19

Bon voilà où j'en suis : tout ce qui a été fait précédemment marche pour z\geq b, de même si y-c\leq 0 et z-b\leq 0.

Ensuite on ne peut pas avoir \beta >0 et \alpha <0 car \beta \leq \alpha.

Reste donc à traiter le cas z<b et y>c.
Si a\geq 0\; et\;x\geq 0 rien à faire.
Si a<0\;ou\;x<0, c'est en fait un "ou" exclusif puisque a<0 => x>0 car a+x\geq 0.

Reste à conclure ??

Posté par
nakhal69re : Olympiades 13-03-19 à 16:04

Posons:
\alpha_1 = (a+x)/2           \beta_1 = (a-x)/2
\alpha_2 = (b+y)/2           \beta_2 = (b-y)/2
\alpha_3 = (c+z)/2           \beta_1 = (c-z)/2
Alors:

a = \alpha_1 + \beta_1        x = \alpha_1 - \beta_1         
b = \alpha_2 + \beta_2       y = \alpha_2 - \beta_2
c = \alpha_3 + \beta_3        z = \alpha_3 - \beta_3

On vérifie aisément que:

\beta_1 + \beta_2 +\beta_3 = 0

(ay+bx) = (\alpha_1+ \beta_1)(\alpha_2- \beta_2) +(\alpha_2+ \beta_2)(\alpha_1- \beta_1) = 2(\alpha_1 \alpha_2 -\beta_1 \beta_2)

De même:

=(\alpha_1+ \beta_1)(\alpha_3+ \beta_3) +(\alpha_1- \beta_1)(\alpha_3- \beta_3) = 2(\alpha_1 \alpha_3 + \beta_1 \beta_3)

Soit en soustrayant:

(ay+bx)-(ac+xz) = -2(\beta_1 \beta_2 -\beta_1 \beta-3) = -2\beta_1(\beta_2+\beta_3) = 2\beta_1^2 \ge 0

Posté par
nakhal69re : Olympiades 13-03-19 à 16:13

Errata (Faute de frappe en latex dans la dernière ligne):

(ax+by)-(ac+xz) = -2(\beta_1 \beta_2 +\beta_1 \beta_3 ) \\ =-2\beta_1(\beta_2 + \beta_3) = 2\beta_1^2 \ge 0

Posté par
alb12re : Olympiades 13-03-19 à 19:09

@Anaben33
salut,
"je viens ici pour vous demander la solution d'un exercice"
tu as bien de la chance d'avoir autant de reponses, la charte de ce forum l'interdit.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Olympiades 14-03-19 à 06:54

Bonjour,
@nakhal69,
Je n'ai pas vérifié tes calculs. Mais quelque chose me chiffonne :
Je n'ai pas vu où la donnée a+x b+y c+z 0 est utilisée.

Posté par
nakhal69re : Olympiades 14-03-19 à 07:54

Merci de ta réponse sylvieg en fait j'ai commis une une petite erreur:

la donnée   a+x\ge b+y\ge c+z est contenue dans

\alpha_1 \ge \alpha_2 \ge \alpha_3 \ge 0

L'erreur commise est:

(ay + bx) - (ac + cx) = 2\alpha_1(\alpha_2-\alpha_3) + 2 \beta_1^2 \ge 0

car      \alpha1 \ge 0    et \alpha_2 \ge\alpha_3  

Posté par
lakere : Olympiades 14-03-19 à 08:03

Bonjour,

En posant A=ay+bx-(ac+xz), on peut montrer que:

  2A=(a-x)^2+(a+x)[b+y-(z+c)]

On utilise bien b+y\geq z+c et a+x\geq 0

Mais a+x\geq b+y semble inutile.

Posté par
malou Webmasterre : Olympiades 14-03-19 à 08:35

alb12 @ 13-03-2019 à 19:09

@Anaben33
salut,
"je viens ici pour vous demander la solution d'un exercice"
tu as bien de la chance d'avoir autant de reponses, la charte de ce forum l'interdit.

vrai ! mais vu la date initiale du post....on va dire qu'il y a prescription
c'est nakhal69 qui a déterré ce sujet.....

Posté par
alb12re : Olympiades 14-03-19 à 09:23

Effectivement les faits sont prescrits !


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