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Optimisation
Bonjour à tous,
J'aurai besoin d'aide concernant un exercice dont voici l'énoncé:
Le prix du carburant consommé en une heure par une locomotive se déplaçant à une vitesse constante est proportionnel au carré de cette vitesse et vaut 150€ lorsque cette vitesse est de 50km/h. Les autres frais s'élèvent à 486€ l'heure quelle que soit la vitesse.
Déterminer la vitesse qui rend le coût au kilomètre minimum.
J'ai écris que P(t)= tv^2 + 486t mais en dérivant je n'arrive à rien. Et je ne vois pas comment trouver une relation entre les 150 euros et les 50km/h
Merci d'avance
Bonjour,
le coût en fonction du temps pour la seule consommation est k v²t où k est une certaine constante
on obtient la valeur de k en écrivant que ce coût est de 150€ si v = 50km/h et t = 1 heure
PS : attention
on veut optimiser le coût par kilomètre
pas le coût par heure !!
et la fonction à dériver c'est le coût par kilomètre en fonction de la vitesse
coût = f(v)
il faut donc calculer ce coût par kilomètre et pas le coût par heure ...
mais d =vt n'est-ce pas ...
Bonjour,
pour k, je trouve 3/50
Ensuite f(t)=( 3/50)v^2 .t + 486t
Ensuite je remplace t par d/v et j'obtiens:
f(v)= (3v^2 .d + 24300d)/(50v)
En dérivant j'ai :
(150dv^2 -1215000d)/((50v)^2)
J'égalise à 0 et j'ai 150dv^2 -1215000d =0
Je mets d en évidence et je résous
150v^2 - 1215000=0 ce qui me donne v = 90 km/h
Ensuite quand je remplace v par 90 dans f(v)
j'ai (54/5)d
Est-ce juste ?
f(v)= (3v^2 .d + 24300d)/(50v) Oui
et d = 1 car on veut un coût par km
En dérivant j'ai :
(150dv^2 -1215000d)/((50v)^2) oui, mais bof (un facteur 50 en trop au dénominateur et numérateur)
ce qui me donne v = 90 km/h : oui et on ne demande que ça
le cout kilométrique qui en résulte n'est pas demandé
j'ai (54/5)d si on ne dit pas ce que c'est ça, ne veut rien dire du tout
à cette vitesse optimale de 90 km/h le coût est de 54/5 = 10.8 € par kilomètre
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