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optimisation

Posté par
kikipopo
29-01-22 à 11:18

Bonjour,

Je dois répondre à ces questions  et ne trouve pas comment exprimer H en foction de R.

Un parfumeur veut fabriquer une boîte de présentation en forme de cône pour contenir un flacon de parfum cylindrique de rayon 3 cm et de hauteur 5 cm.
On note R le rayon de la base dela base cônique et H sa hauteur.
Pour diminuer le côut de fabrication, le parfumeur souhaite utiliser le moins de carton possible  et donc trouver la boîte conique de volume minimal.
a. compte tenu des contraintes, exprimer la hauteur de la boîte conique ne fonction de R.
En déduire le volume V en fonction de R.
b. Déterminer la valeur du rayon R et de a hauteur h de cette boîte conique de sorte   que son volume soit minimal. Quel est ce volume minimal (arrondiau dxième de cm3)

V= \frac{\Pi ^{r2 }h}{3}
R =3 + x
Je ne sais pas si je peux dire que le diamètre du flacon est égal à sa hauteur.
Merci

optimisation

Posté par
philgr22
re : optimisation 29-01-22 à 11:22

Bonjour,
Quelle figure obtiens tu si tu coupes le cone par un plan vertical?

Posté par
philgr22
re : optimisation 29-01-22 à 11:22

Je ne comprends pas ton dessin....

Posté par
kikipopo
re : optimisation 29-01-22 à 12:26

Ma figure c'est deux cylindres superposés le plus grans est le flacon de 3cm de rayon et le plus petit est le bouchon.
Ce flacon est inséré dans un cône de rayon R. La hauteur h u cône est de 5cm

Posté par
kikipopo
re : optimisation 29-01-22 à 12:27

grand
la hauteur h du cône

Posté par
philgr22
re : optimisation 29-01-22 à 12:38

Apparemment ,il n'y a aucun renseignement sur le bouchon et je en comprends toujours pas ton dessin . Essaie de repondre à ma question.

Posté par
kikipopo
re : optimisation 29-01-22 à 14:09

Je sais que je ne dois pas envoyer de photos, mais je ne peux pas faire autrement en ce moment ((problème de matériel).
Parailleurs, je copié le texte intégral du problème.

optimisation

Posté par
kikipopo
re : optimisation 29-01-22 à 16:24

e peux calculer l'hypothénuse SB du triangle rectangle SOB  
SB =\sqrt{34}

Je peux calculer le volume du cône SOB
V = 84cm3

Le volume du cône SOA est
V = \Pi \frac{(3+x^2{)h}}{3}

Posté par
alma78
re : optimisation 29-01-22 à 17:25

Bonjour,
Apparemment il y a des erreurs dans ton énoncé.
Tu écris « La hauteur h du cône est de 5cm » à 12h26.
Or on ne connaît pas la hauteur du cône. Les 5cm correspondent à la hauteur du flacon en forme de cylindre.
Un petit dessin devrait  t'aider à calculer h en fonction de R.
On a O'C = 3 cm, O'O = 5 cm, SO = h, OA = R
Si tu utilises Thalès dans le triangle SOA, tu devrais y arriver.

optimisation

Posté par
kikipopo
re : optimisation 29-01-22 à 18:23

Ma difficulté est venue de mon erreur dans la lecture de hauteur
de 5cm.

5R = 3h

h = 4,24

V = 7,9 cm3

Posté par
alma78
re : optimisation 29-01-22 à 18:27

kikipopo @ 29-01-2022 à 18:23

Ma difficulté est venue de mon erreur dans la lecture de hauteur
de 5cm.

5R = 3h c'est faux. Explique ton raisonnement.

h = 4,24 c'est faux. Comment le cône pourrait être plus petit que le cylindre ?

V = 7,9 cm3 c'est faux

Posté par
kikipopo
re : optimisation 29-01-22 à 18:43


OO' / SO = O'C / OA = SC /SA
5 / h = 3 / R = SC / SA

Posté par
alma78
re : optimisation 29-01-22 à 18:53

kikipopo @ 29-01-2022 à 18:43


OO' / SO = O'C / OA = SC /SA non. C'est SO'/SO qui est égal à O'C/OA
5 / h = 3 / R = SC / SA

Posté par
kikipopo
re : optimisation 29-01-22 à 19:53

SO'/5 = 3 / R

15 = SO'R

Comme je ne connais pas d'autres valeurs  

Posté par
alma78
re : optimisation 29-01-22 à 19:58

Attention SO ne vaut pas 5.
Quant à SO' c'est égal à SO - O'O.
SO = h et O'O = 5

Posté par
kikipopo
re : optimisation 29-01-22 à 20:39

SO'/h = 3/R
SO-5 / h = 3 / R
3h = R(SO-5)

Posté par
alma78
re : optimisation 29-01-22 à 20:45

Je viens de te dire que SO = h (hauteur du cône). Alors pourrais-tu l'utiliser ?
Ainsi tu auras h en fonction de R comme demandé dans l'énoncé.

Posté par
kikipopo
re : optimisation 29-01-22 à 20:52

h-5/h = 3 / R

Posté par
kikipopo
re : optimisation 29-01-22 à 21:25

R =3h/h-5

Posté par
kikipopo
re : optimisation 29-01-22 à 21:39

V = (3H/h-5)2)h/3
v = (9h2/h2-10h+25)h/3
V = (9h3/h2-10x+25)/3

Posté par
kikipopo
re : optimisation 29-01-22 à 21:43

V = (9h3/h2-10h+25)/3

Posté par
alma78
re : optimisation 29-01-22 à 21:55

Kikipopo, tu n'es pas assez attentive.
Dans l'énoncé il est demandé :
a. compte tenu des contraintes, exprimer la hauteur de la boîte conique en fonction de R.
En déduire le volume V en fonction de R.

Toi, tu as fait en fonction de h.
Alors tu recommences et tu fais ce qu'on te demande.

Posté par
kikipopo
re : optimisation 29-01-22 à 22:24

h=R(h-5)/3

V = [((Rh-5R)2/3)(Rh-5R)]/3

Posté par
alma78
re : optimisation 29-01-22 à 22:28

kikipopo @ 29-01-2022 à 22:24

h=R(h-5)/3
Tu dois arranger cette expression. On veut h en fonction de R !
V = [((Rh-5R)2/3)(Rh-5R)]/3

Posté par
kikipopo
re : optimisation 29-01-22 à 22:32

je ne vois comment éliminer le h

Posté par
kikipopo
re : optimisation 29-01-22 à 22:40

je ne vois pas comment substituer

Posté par
alma78
re : optimisation 29-01-22 à 22:48

kikipopo @ 29-01-2022 à 20:52

(h-5)/h = 3 / R

Donc 1-(5/h) = 3/R
1-(3/R) = 5/h
(R-3)/R = 5/h
D'où R/(R-3) = h/5
Soit h = 5R/(R-3)

Tu es d'accord ?

Maintenant tu dois exprimer V en fonction de R

Posté par
kikipopo
re : optimisation 29-01-22 à 23:23

V = [((5R/(R-3)2)(5R/(R-3)]/3
V = 125R3/R3/3+R2+R-3

Posté par
alma78
re : optimisation 29-01-22 à 23:38

Kikipopo, tu dois faire attention à ce que tu écris.
On a V= (/3)*R2*h
Et on a h = 5R/(R-3)
tu dois remplacer h par sa valeur dans V= (/3)*R2*h

Posté par
alma78
re : optimisation 29-01-22 à 23:42

Lorsque tu auras V en fonction de R, tu devras étudier cette fonction pour trouver la valeur de R qui minimise V.
Moi, je vais me reposer .

Posté par
kikipopo
re : optimisation 29-01-22 à 23:48

V = (/3)R2*(5R/R-3)
V = (/3)(5R3/R-3)

Posté par
kikipopo
re : optimisation 29-01-22 à 23:52

Merci beaucoup.
Je reprendrai demain.
Bonne nuit.

Posté par
kikipopo
re : optimisation 30-01-22 à 09:40

Bonjour,
V' = 15R2
R = 15
R 3
R =3,87

H = (3,87*5)/(3,87 -3)= 22,2

V =[( /3)(15*22,2)]/3 =349,3 cm3

Posté par
alma78
re : optimisation 30-01-22 à 12:25

kikipopo @ 30-01-2022 à 09:40

Bonjour,
V' = 15R2 Faux. Donne le détail du calcul de la dérivée de V par rapport à R
R = 15
R 3
R =3,87 Faux

H = (3,87*5)/(3,87 -3)= 22,2. Faux

V =[( /3)(15*22,2)]/3 =349,3 cm3. Faux

Posté par
kikipopo
re : optimisation 30-01-22 à 13:46


V' = (/3)(15R2/1-3)

Posté par
alma78
re : optimisation 30-01-22 à 14:09

kikipopo @ 30-01-2022 à 13:46


V' = (/3)(15R2/1-3)  Faux


Tu as V = (5/3)*(R3/(R-3))
C'est de la forme (5/3)*(U/W)
Avec U=R3
et W=R-3
La dérivée de V est donc (5/3)*((U'W - UW')/W2)
À toi de continuer.

Posté par
kikipopo
re : optimisation 30-01-22 à 15:24

(/3)(((3R2(R-3)) - R3)/(R-3)2
(/3)(2R3-9R2/(R-3)2
(/3)(6R2-18R)/(R-3)2

Posté par
kikipopo
re : optimisation 30-01-22 à 16:03

{[(/3)((6R(R-3))]/(R-3)2
V' =(/3)(6R))/(R-3)
V' =(/3)(6R2-18R)

Posté par
alma78
re : optimisation 30-01-22 à 17:09

kikipopo @ 30-01-2022 à 15:24

(/3)(((3R2(R-3)) - R3)/(R-3)2 il manque le 5 au numérateur
(/3)(2R3-9R2/(R-3)2 il manque le 5 au numérateur
(/3)(6R2-18R)/(R-3)2 c'est faux. Je ne comprends pas ce que tu as voulu faire. Factoriser ?

Posté par
alma78
re : optimisation 30-01-22 à 17:11

kikipopo @ 30-01-2022 à 16:03

{[(/3)((6R(R-3))]/(R-3)2
V' =(/3)(6R))/(R-3)
V' =(/3)(6R2-18R)


Ici tout est faux. Recommence proprement.

Posté par
kikipopo
re : optimisation 30-01-22 à 21:24

Excusez-moi, je m'étais absentée en toute fin d'après-midi parce que les messages ne me parvenaient pas.
V' = (5/3)*((3R2(R-3)-R3/(R-3)2
V' = 5/3 (2R3-9R2)/ (R-3)2

Je ne vois pas quoi faire d'autre pour trouver la valeur de R

Posté par
alma78
re : optimisation 30-01-22 à 21:44

V' est correct.
Pour déterminer un extrémum de V il faut déterminer R pour lequel V' s'annule.
Donc ici,  2R3 -9R2 = 0
Soit R2*(2R-9) = 0
A toi de conclure pour trouver R. N'oublie pas que R est différent de 0.

Posté par
kikipopo
re : optimisation 30-01-22 à 22:34

Si un  produits de facteurs est nul au moins l'un des facteurs est nul.

R2 * (2R-9) =0
R

3
donc
R2 =0 impossible
R = 4,5
H 5R/(R-3) =15
Le volume minimal arrondi au 10ème de cm3 est :
V = 286,3 cm3

Posté par
alma78
re : optimisation 30-01-22 à 23:11

kikipopo @ 30-01-2022 à 22:34

R = 4,5 c'est bon. Précise que c'est 4,5 cm
H =5R/(R-3) =15 c'est bon. Précise que c'est 15 cm
Le volume minimal arrondi au 10ème de cm3 est :
V = 286,3 cm3 c'est faux. Donne le détail de ton calcul.

Posté par
kikipopo
re : optimisation 30-01-22 à 23:44

V = [*(4,5)2*15]/3
V = 318 cm3

Posté par
alma78
re : optimisation 30-01-22 à 23:50

kikipopo @ 30-01-2022 à 23:44

V = [*(4,5)2*15]/3
V = 318 cm3

La valeur au dixième près est 317,9 cm3

Posté par
alma78
re : optimisation 30-01-22 à 23:51

Bonne soirée et à bientôt sur l'

Posté par
kikipopo
re : optimisation 30-01-22 à 23:59

Ma calculatrice me donne 318, 08625618. Ce doit être en fonction de la précision de
Merci beaucoup.
Bonne nuit
Bientôt

Posté par
alma78
re : optimisation 31-01-22 à 00:05

Tu as raison. J'avais pris 3,14 pour la valeur de .
En prenant une valeur plus précise, on a bien les 318 cm3 que tu as indiqués.
Excellente remarque de ta part.
Bonne nuit.

Posté par
alma78
re : optimisation 31-01-22 à 00:10

Rectification : si tu trouves 318,086 pour V, la valeur arrondi au dixième près devient 318,1 cm3

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