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Optimisation dans le secteur alimentaire

Posté par
Elisasalanche 20-02-21 à 11:47

Bonjour à tous, je suis en spé maths et j'ai un exercice à faire mais je n'y arrive pas du tout l'énoncé est le suivant :

Un industriel du secteur des produits laitiers souhaite créer des pots pour conditionner le yaourt qu'il produit. Ces pots ont une contenance de 125cm3 et sont de forme cylindrique.
Pour des raisons économiques il souhaite minimiser la quantité du matériau utilisé pour la fabrication du pot. On considère l'épaisseur de ce matériau constante. Le problème se ramène ainsi à étudier l'aire extérieur du pot(face latérale et fond du pot)
Déterminer les dimensions à donner à ce port de yaourt pour satisfaire l'ensemble des contraintes indiquées.

Merci à ceux qui vont m'aider

Posté par
ciocciure : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 11:54

salut
donne des mesures à ton cylindre  ... hauteur h et rayon x
ensuite calcules la surface du bazar en fct de h et x

Posté par
Elisasalanchere : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 12:21

D'accord alors on obtiendra V=*x^2*y ?

Posté par
heklare : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 12:40

Bonjour

J'aurais plutôt appelé la hauteur h.   Que vaut-elle en fonction de x  ?

Quelle est l'aire ?

Posté par
ciocciure : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 12:41

euh tu cherches pas le volume.....
tu cherches la surface  
sur un cylindre   y'a le tour  et le fond
le tour c'est quoi comme surface ?

Posté par
heklare : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 12:41

Bonjourciocciu

je pensais que vous étiez parti

Posté par
ciocciure : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 12:42

mais bon effectivement le volume sert pour avoir une relation entre y et x

que vaut y en fct de x    ? puisque tu connais le volume

Posté par
Elisasalanchere : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 13:21

Très bien il me semble avoir compris enfin je ne suis pas sûr mais la surface du cylindre sera donc 2xy+2x2

Posté par
ciocciure : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 13:25

oui c'est ça
et comme avec le volume tu as une relation qui te donne y= ....
tu peux trouver la surface uniquement en fct de x
pas de soucis hekla ... ma session saute rapidement donc je suis marqué hors ligne

Posté par
Elisasalanchere : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 13:30

D'accord merci je trouve alors y=*x^2 est-ce bien ça ? Que dois-je faire pour la suite ?

Posté par
ciocciure : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 16:15

Euh non
V= x2 y
Or v vaut combien  d'après l'énoncé ?

Posté par
Elisasalanchere : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 16:48

D'après l'énoncé V=125cm3

Posté par
ciocciure : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 16:57

ok parfait donc remplace et trouve y= ....

Posté par
Elisasalanchere : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 17:15

Donc V=125cm3
125=*x^2*y
J'ai beaucoup de mal à trouver y

Posté par
ciocciure : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 18:22

ok
si tu avais 125=3y
ça ferait y =?


si tu avais 125=3y
ça ferait y =?

Posté par
Elisasalanchere : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 18:43

Alors pour le premier résultat on aura y=41,6
Et pour le second résultat en rapport avec l'exercice on obtient y=39,7

Posté par
ciocciure : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 18:55

pour celui là  125=3y
tu trouves y=39,7  ?!  c'est quoi l'opération que tu fais ?

Posté par
Elisasalanchere : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 18:59

Quelle étourderie j'avais oublié le nombre 3 juste devant on trouve alors y=13,2

Posté par
ciocciure : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 19:06

donc y=\frac{125}{3\pi }

bon maintenant tu a 125=x²y
que vaut y ?  c'est exactement le même style

Posté par
Elisasalanchere : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 19:17

Très bien on obtient donc y= 125/x^2

Posté par
ciocciure : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 19:25

et bin voilà
donc tu as ton y que tu peux remplacer dans la surface ...en simplifiant ce que tu peux ...

Posté par
Elisasalanchere : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 20:00

Lorsque l'on remplace on obtient : 2x(125/x^2)+2x2 ?

Posté par
Elisasalanchere : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 20:57

2x(125/x^2)+2x2      *

Posté par
heklare : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 20:58

une remarque en passant   il ne faut pas oublier les parenthèses

y=125/(\pi x^2) sinon on lit \dfrac{125}{\pi}x^2

aire latérale 2\pi x y= 2\pi x\dfrac{125}{\pi x^2}= \dfrac{250}{x}

aire du fond  \pi x^2

Aire totale

Posté par
Elisasalanchere : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 21:13

Merci beaucoup pour votre aide maintenant que j'ai toutes ces informations que dois-je faire ?

Posté par
ciocciure : Optimisation dans le secteur alimentaire 20-02-21 à 22:57

Donc ta surface vaut f(x)= 250/x   +x2
Il faut étudier la fonction  pour voir si elle a un minimum

Posté par
Elisasalanchere : Optimisation dans le secteur alimentaire 21-02-21 à 12:00

Dois-je étudier cette fonction sur l'intervalle ]0;+[ ?

Posté par
heklare : Optimisation dans le secteur alimentaire 21-02-21 à 12:19

Vous pouvez le faire On n'a aucune dimension  sauf 125 cm^3   mais dépasser 10  cela n'aurait pas beaucoup de sens

Posté par
Elisasalanchere : Optimisation dans le secteur alimentaire 21-02-21 à 12:35

Très bien merci
Pour f'(x)=2x-250/x^2 je trouve que 2x-250 s'annule en 3,4 est-ce bien ça ?

Posté par
heklare : Optimisation dans le secteur alimentaire 21-02-21 à 12:47

2\pi x -\dfrac{250}{x^2}=\dfrac{2\pi x^3-250}{x^2}


Oui on a bien environ 3,4

Posté par
Elisasalanchere : Optimisation dans le secteur alimentaire 21-02-21 à 13:16

Pour l'extremum  je trouve donc à peu près 109,8 est-ce bon ?

Posté par
heklare : Optimisation dans le secteur alimentaire 21-02-21 à 13:25

Oui

Posté par
Elisasalanchere : Optimisation dans le secteur alimentaire 21-02-21 à 14:25

Donc cela me donne y=250/x donc 250/109,8= 2,2 cm ?

Posté par
heklare : Optimisation dans le secteur alimentaire 21-02-21 à 14:37

On a plutôt 2,2759 arrondir soit à 2,3 ou à 2,28

Posté par
Elisasalanchere : Optimisation dans le secteur alimentaire 21-02-21 à 14:44

Ce résultat nous donne t'il la hauteur ou la largeur du pot ?

Posté par
heklare : Optimisation dans le secteur alimentaire 21-02-21 à 14:56

Vous auriez dû commencer par définir vos inconnues

On appelle x le rayon du disque de base  y la hauteur du cylindre.

Après on peut écrire V=\pi x^2y

Posté par
Leikore : Optimisation dans le secteur alimentaire 09-03-21 à 23:54

Bonjour, en faite je dois faire exactement le même exercice mais je voulais savoir comment vous avez procédé pour trouver les 3,4, est ce que vous pouvez détailler le calcul ? Voila merci beaucoup ça m'aiderait pas mal

Posté par
heklare : Optimisation dans le secteur alimentaire 10-03-21 à 12:03

Bonjour

On cherche la valeur qui annule la dérivée donc on veut résoudre \dfrac{2\pi x^3-250}{x^2}=0


\dfrac{2\pi x^3-250}{x^2}=0\iff  x^3=\dfrac{250}{2\pi} =\dfrac{125}{\pi}

d'où x=\left(\dfrac{125}{\pi}\right)^{1/3}\approx 3,41392

ou x=\dfrac{5}{\sqrt[3]{\pi}}


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