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Orthogonalité dans un tétraèdre régulier
ABCD est un tétraèdre régulier d'arête a. A',B',C',D' sont les centres de gravité respectifs des triangles BCD,ACD,DAB,ABC, I et J sont les milieux respectif de [AB] et [CD].
1) Calculer les produits scalaires AB.AC et AB.AD en fonction de a .
En déduire AB.CD
2)Démontrer que dans un tétraèdre régulier les arêtes opposées sont orthogonales.
3) Vérifier que IJ = 1/2AB +BC + 1/2CD . En déduire que la droite (IJ) est orthogonale aux droites (AB) et (CD).
4) En utilisant le triangle ABJ exprimer la distance IJ en fonction de a .
5) Calculer les produits scalaires AA'.CD et AA'.BC . En déduire (AA') est la hauteur issue de A du tétraèdre ABCD .
6) Préciser les autres hauteurs du tétraèdre et démontrer qu'elles sont concourantes.
7) Calculer en fonction de a, la distance AA' puis le volume du tétraèdre ABCD.
Serais-ce possible de m'aider svp c'est a rendre pour vendredi merci de votre aide
Je comprend variament pas les produit scalaire alors si quelqu'un pourrait m'aider svp merci
pour la premiere je ne vois pas comment faire alors si quelqu'un pourrait me lancer pour que j'essaye merci
personne pour m'aider svp jy arive vraiment pas
ABCD est un tétraèdre régulier donc 4 triangles équilatéraux , on connait pas mal d'angles qui mesurent pi/3 et donc pas de pb pour le produit scalaire!
Désole mais g vraiment du mal a comprendre ce que tu veux m'expliquer pourrai vous mexpliquez autrement svp
personne pourrai t'il ma'ider a faire ce dm g beau chercher je ne trouve vraiment pas merci
en faite ce suis bloké je vais vous donner ce ke je trouve
AB.AC=
(AC+CB).(AB.BC)=
AB.AC+AC.BC+CB.AB+CB.BC
a²+..........+0
la ou je met .. je ne vois pas quoi mettre si vous pourrier m'expliquez ce ke je dois mettre san me dire forcement la réponse ce né pas ce ke je cherche.
Je cherche a comprendre avant tout garnouille je ne vois pas cke tu veu me dire avec pi/3 ( c les triangles equilatéral qui valent pi/3)
personne pour me dire si g bon au début svp merci
bonjour,
Je vais dire comme garnouille : Dans un tétraèdre régulier,
chaque face est un triangle équilatéral, donc chaque angle
d'une face vaut pi/3.
Ensuite, pour répondre à la question qui est posée,
il faut en revenir à la définition du produit scalaire :
u.v = ||u|| ||v|| cos(u; v)
Apliqué à ton problème :
AB . AC = ||AB|| ||AC|| cos(pi/3) = a * a * 1/2 = a²/2
..
Ah d'accor je croyais que je devais décomposer car g lhabitude moi de decomposer avec Chales ok, merci
Je continue donc
AB.AC= AB.AD = a²/2
AB.CD = AB.(CA+AD)= AB.CA + AB.AD
= -a²/2 + a²/2
soit AB.CD=0
Voila c bon? pour la 1)
par contre pour la 2 pourrai tu m'aider car pour démontrer ce suis pa tro fort pourait tu m'expliquer merci je fais la 2)a)
Voila g fé pour la 2)a)
IJ = IB + BC + CJ (avec des vecteurs)
or i milieux de [AB]
et j milieux de [CD]
donc IJ = 1/2 AB + BC + 1/2CD
dite moi si c bon merci je continue mai aidez mmoi pour la 1)b) merci
Dans la question 1, tu viens de le démontrer pour les arêtes AB et CD,
qui sont bien des arêtes opposées. Par extension (par permutation),
cette propriété est vraie pour toutes les arêtes car le tétraèdre est
régulier (toutes les faces, toutes les arêtes et tous les sommets sont superposables).
...
Considérons le milieu J de [CD].
BCD est un triangle équilatéral, la médiane (BJ) est aussi hauteur, donc (BJ) est perpendiculaire à (CD).
De même, puisque le triangle ACD est équilatéral, la médiane (AJ) est perpendiculaire à (CD).
Le plan (ABJ) contient donc deux droites sécantes perpendiculaires à (CD) ; la droite (CD) est par conséquent orthogonale au plan (ABJ).
La droite (CD) est alors orthogonale à toutes les droites du plan (ABJ). Elle est en particulier
orthogonale à la droite (AB) contenu dans ce plan.
Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
par une demonstration identique on na (AD) et (BC), ainsi que (AC) et (BD) sont orthogonales
Par ailleurs,la droite (CD), orthogonale à toutes les droites du plan (ABJ), est orthogonale à la droite (IJ) contenue dans ce plan : (CD) est perpendiculaire à (IJ).
Une étude analogue montrerait que la droite (AB) est orthogonale au plan (CDI) et quelle est donc orthogonale à la droite (IJ) contenue dans ce plan : (AB) est perpendiculaire à (IJ).
La droite (IJ) est la perpendiculaire commune aux droites (AB) et (CD).
Voila dsl si j'étai long dite moi si c bon
Je pensais plutôt que tu allais poursuivre avec les produits scalaires,
puisqu'on parlait, dans la question, de "en déduire.." :
AB . IJ = AB . (1/2AB + BC + 1/2CD)
= 1/2 AB² + (AB.BC) + 1/2 (AB.CD)
= 1/2 AB² + (AB.BC) (car AB ortho à CD)
= 1/2 AB² - (BA.BC)
= 1/2 AB² - ||BA|| ||BC|| cos(pi/3)
= 1/2 a² - a * a * 1/2
= 1/2 a² - 1/2 a²
= 0
Raisonnement analogue pour CD . IJ
...
Voila je vais faire une hypothese lol je suis pas tres sur dite moi si c bon
Soit E le point de [IJ] tel que AEB soit un triangle équilatéral.
On a donc IBE = 60° (avec le chapeau)
Or IJB= 15°, donc JBI= 180-(90+15)=75°
et IBE= 15°
Le trinagle IBE est isocele, d'ou BE=BI
et le triangle AEB est équilatéral,
non dsl je ne vois pas pour la suite je pensais avoir trouvé
ce n'est pas bon ce ke g fé précedement ? malgre la consigne non respecté
Je te mets ur la voie :
Le triangle ABJ est isocèle en J, car AJ = BJ.
(IJ) est perpendiculaire à (AB) (voir question précédente),
donc (IJ) est une hauteur (également médiane et médiatrice).
Il reste donc à appliquer pythagore, en ayant au préalable déterminé
BJ = AJ comme hauteur dans triangle équilatéral de côté a.
...
RE :
Je viens de prendre le temps de lire ce que tu as rédigé et posté le 08/03/2007 à 22:41.
C'est même plus que bien.
C'est parfait pour une démonstration géométrique.
...
merci bcp pour ce compliment j'ai pourtant du mal en géométrie
mais je vais plutot prendre votre méthode car la consigne nous di de en deduire
Pour cette question je la continuerai chez moi il suffit d'apliquer pythagore maintenant c simple par contre je voudrai kel méthode tu a apliquer toi pour trouver comme moi BJ=JA = a(
3)/2
pour savoir si elle est plus rapide ou pas que la mienne
Je continu en attendant sur la 3)a)
non c bon en faite jpense que j'ai la meme methode que toi en faite allé je continue je vous tien au courant
J'ai fait la 3)a)
Vous pouvez me dire ce que vous trouvez s'il vous plait
car moi j'ai trouvé quelquechose mais j'en suis pas sur du tout
En faite g envie de changer avec Chales mais j'en suis pas sur
car si on ne change pas j'arive pas a trouvé l'angle .
Donc :
AA'.CD = (A'C+CD+DA').CD
= A'C.CD+CD²+DA'.CD
= -CA'.CD+a²-DA'.DC
c'est a partir de la que je bloque j'en suis pas sur mais -CA'.CD et -DA'.DC s'anulle dite moi si c'est bon merci
Donc on trouve AA'.CD= a²
si personne m'aide je ne peux pas continuer
toujours personne pour me venir en aide
bonsoir,
pour la 3)a), il faut décomposer avec Chasles en faisant apparaître BJ.
AA'.CD = (AC + CJ + JA').CD = ...
AA'.BC = (AB + BA').BC = ...
avec CJ = 1/2 CD
avec BA' = 2/3 BJ
avec JA' = -1/3 BJ
...
AA'.CD = (AC + CJ + JA').CD = -CA.CD+CJ.CD+JA'.CD
= -a²/2+a²/2+0 car BJ est ortho a CD (pas sur)
= 0
AA'.BC = (AB + BA').BC = AB.BC+BA'.BC
= -BA.BC + BA'+BC
= -a²/2+a²/2
donc AA est ortho a CD et BC
J'ai commencé a reflechir sur la 3)b) par contre g pas reussi a deduire que c'etai la hauteur peu etre parce que elle est ortho au plan BCD qui est la base du tétraedre donc c'est la hauteur
Sinon comme hauteur ya t'il BJ
Il y en na d'autre prenon E le milieu de BC et K le milieu de BD alor il y a DE et CK
peu tu m'aider pour la suite
Re:
BJ est une hauteur du triangle BCD; ce n'est pas une hauteur du tétraèdre.
Une hauteur de tétraèdre, c'est la droite passant par un sommet et ortho à la face opposée.
Si AA'.CD = 0, alors (AA') ortho à (CD)
Si AA'.BC = 0, alors (AA') ortho à (BC)
Si (AA') ortho à (CD) et à (BC), et que (CD) et (BC) sont coplanaires,
alors (AA') est ortho au plan (BCD), donc (AA') est la hauteur
du tétraèdre isssue de A sur la face BCD.
Comme le tétraèdre est régulier, ce qui est valable pour une face l'est
pour les autres :
BB', CC' et DD' sont les 3 autres hauteurs.
...
Ah d'accord je peux te poser une question
que veut dire orthocentrique deja, j'ai oublié desole?
merci
Re : c'est un centre orthogonal. Le point de concours des hauteurs
du tétraèdre sera orthocentrique aux faces.
...
C bon g trouvé
Je sais commen faire pas besoin d'aide en faite merci tu m'as bien expliquez commen il fallait faire en me redonnant une bonne définition
Sinon pour calculer AA' peut-on utiliser pythagore vu que AA'est orthogonale au plan BCD donc le triangle BAA4est rectangle en A' on connait AB=a et BA'=2/3BJ soit (a(3)/2 )* 2/3
soit BA' = a(23 )/6
Une autre question le volume du tétraedre c bien
v = 1/3 * base * hauteur
ici la hauteur on peu prendre AA'
or comme on prend AA' on doit prendre BCD comme base
Au fait je trouve AA'= (2/3)a (j'espere lavoir bien ecris)
La hauteur vaut donc (2/3)a
La base vaut(b*h)/2 soit a²(3)/4
v= 1/3*base*(2/3)a
v= 1/3 * (2/3)a * a²(3)/4
je n'ecris pas les etapes intermediaire mais on trouve
v= (2/12)a^3
voila di moi si c bon
jte remercie encore pour cette grande aide
en faite il été pas si dur ce dm merci encore grace a toi g pu repondre a certaine des question et d'autre tu mas bcp aidée merci encore
C'est OK pour la surface de la base.
C'est OK pour la hauteur AA'.
Pour le Volume (problème d'écriture),
c'est V = a3 (2) / 12
...
a oué c vrai g pas fait attention g voulu allé tro vite merci encore pour cette aide merci bcp on n'a fini ce DM
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