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Orthogonalité dans un tétraèdre régulier
Bonsoir ,
ABCD est un tétraèdre régulier.
I est le milieu de [BC] et J le milieu de [AD].
1) Démontrer que A et D appartiennent au plan médiateur de [BC].
2) En déduire que : (IJ) 
(BC)
1) Le plan médiateur d'un segment est constitué des points équidistants des extrémités de ce segment. Il s'agit du plan passant par le milieu du segment et orthogonal à ce segment .
Dans le tétraèdre ABCD.
Soient E et F les points équidistants des extrémités de [BC] , alors E (P) et F aussi.
I étant le milieu de [BC]
I est le milieu de [EF]
D'où (P) passe par I et (P) [BC]
Donc I est le projeté orthogonal de J sur [BC] car la droite passant par I passe par J.
Cette droite est donc perpendiculaire à [BC]
Alors A=E , J=I et D=F
Donc A (P) , J
(P) et D
(P)
D'où A et D appartiennent au plan (P).
2) I étant le projeté orthogonal de J sur [BC]
Donc (IJ) (BC)
Bonjour,
@matheux14,
Ta figure est fausse : Les points A, D, E, F ne sont pas coplanaires.
Soient E et F les points équidistants des extrémités de [BC] ,
Par ailleurs, tu parles d'un plan (P) sans dire ce que c'est.
Pour1), applique ceci au plan médiateur de [BC] :
Le plan médiateur d'un segment est constitué des points équidistants des extrémités de ce segment
Si tu poses la question pour la figure :
Les points E et F sont inutiles.
Tu essayes de représenter le plan médiateur de [BC] ?
Tu pourras le faire correctement quand tu en auras trouvé 3 points non alignés.
Tu peux démontrer 1) sans représenter ce plan.
Que peut-on dire des longueurs AB et AC ?
Je ne vais plus être disponible.
Tu peux chercher à terminer 1), puis à représenter le plan médiateur avec 3 de ses points non alignés.
PS : je signalais par là que j'étais disponible pour prendre la relève de Sylvieg au besoin
la balle est dans ton camp
il ne reste que à rédiger correctement la question 1 pour le point A
tout est dit dans les messages précédents et il n'y a qu'à mettre les morceaux ensemble..
puis à faire exactement la même chose pour le point D ("la deuxième moitié de la question 1")
1) AB=AC car ABCD est un tétraède régulier donc ABC est un triangle équilatéral.
Pourquoi ça permet de traiter la moitié de la 1ère question ?
Je ne sais pas pourquoi ..
DB=DC car ABCD est un tétraède régulier donc BDC est un triangle équilatéral.
1) AB=AC car ABCD est un tétraède régulier. oui, déja dit
or
Pour1), applique ceci au plan médiateur de [BC] :
Le plan médiateur d'un segment est constitué des points équidistants des extrémités de ce segment
ça veut dire "un point appartient au plan médiateur d'un segment si et seulement si il est équidistant des extrémités de ce segment"
et A est bien équidistant des extrémités B et C, non ? c'est ce que veut dire AB = AC !
donc ... c'est terminé pour A.
il n'y a pas d'histoire de triangles là dedans ni de point I ni de plan orthogonaux à quoi que ce soit là dedans , juste ce qui est dit au dessus
I et le plan orthogonal ça servira pour la suite (la question 2)
Ok
Comme DA=DC car ABCD est un tétraède régulier alors D est équidistant des extrémités du segment [BC]
Donc les points A et D appartiennent au plan médiateur de [BC]
2) comment faire ?
2) par conséquent le plan défini par A, D et I est le plan médiateur de [BC]
(chacun de ces points appartient à ce plan là, on vient de le démontrer par la question 1 pour A et D, et pour I, bein ... IB = IC et pareil.
c'était la question annexe de Sylvieg :
Tu pourras le faire [tracer ce plan] correctement quand tu en auras trouvé 3 points non alignés.
or BC est orthogonal à ce plan médiateur (par la deuxième phrase de la définition de "plan médiateur" citée au tout début)
etc (propriété d'une droite orthogonale à un plan ...)
On sait que AB=AC , DB=DC , I est le milieu de [BC] donc IB=IC et JB=JC car J est le milieu de [AD].
Les points A,I et D étant non alignés, le plan (P) est défini par le plan (AID).
Or (BC) est orthogonale au plan (AID) , alors (BC) est orthogonale à toute droite de ce plan.
(IJ) 
(AID)
D'où (BC) orthogonale à (IJ)
oui.
"et JB=JC car J est le milieu de [AD]". inutile
il suffit de dire que J appartient à ce plan comme n'importe quel point de la droite (AD)
(et puis il faut dire tout de même que (P) = (AID) est le plan médiateur, sinon il en manque des bouts : pourquoi il est orthogonal à (BC))
Bonsoir,
@mathafou,
Merci d'avoir pris la relève 
@matheux14,
Ne trouves-tu pas que ta figure d'aujourd'hui est moins bancale que celles d'hier ?
De rien
Il y a une manière plus simple de démontrer que les droites (IJ) et (BC) sont perpendiculaires :
(IJ) est la médiane issue de J du triangle JBC.
Il suffit de démontrer que ce triangle est isocèle en J.
Mais ce n'est pas le sujet de l'exercice.
oui (c'est fait dans un autre exo de matheux14)
et ici
Oui , mais la question demande de déduire la réponse de la question 2 de la question 1) ...
(ça revient à faire les questions à l'envers)
si tu le dis (je ne l'ai pas vu, il avait été censuré avant)
alors pourquoi matheux14 considérait il que la question 2 n'était pas traitée comme demandé, comme conséquence de la 1 ?
Voici son message récupéré avec le bouton "accès au log" :
"Bonjour
AB]=AC et DB=DC donc A et D sont des points du plan médiateur de [BC] donc (AD) est incluse dans ce plan donc J est un point de ce plan médiateur et comme I est aussi un point du plan médiateur alors (IJ) est contenue dans ce plan.
(BC) est perpendiculaire à ce plan médiateur donc elle est orthogonale à toute droite de ce plan, y compris (IJ)."
OK, il n'y avait rien à redire (à part la charte du forum 
)
et c'est matheux14 qui avait compris ça de travers.
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