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Paradoxe des dates d'anniversaire

Posté par
Manga2
01-09-13 à 18:37

Bonsoir tout le monde,
Sur cette page de Facebook: , l'énigme suivante est postée:

Posté par
Manga2
re : Paradoxe des dates d'anniversaire 01-09-13 à 18:41

Désolé, il est encore trop tôt pour poster ce message. Je suis en cours de rédaction (j'ai appuyé sur entrer après avoir, par erreur, appuyé sur tab ce qui a posté mon message.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Paradoxe des dates d'anniversaire 01-09-13 à 19:28

Bonjour,

Citation :
j'ai appuyé sur entrer après avoir, par erreur, appuyé sur tab ce qui a posté mon message
bienvenue au club, en fait tu n'as même pas besoin de faire entrée pour que "ça parte tout seul"
il suffit de taper une touche quelconque après "Tab"
voir le fil Bouton POSTER
on a demandé d'intervertir les boutons "Poster" et "Aperçu", sans effet ...
(un aperçu intempestif est tout de même moins grave qu'un envoi intempestif, dans un forum où il est impossible de modifier ses posts, mais ça perturberait les habitudes)

par ailleurs juste un lien externe en guise d'énoncé n'est pas toléré, mais comme le message n'était pas fini ...

Posté par
Manga2
re : Paradoxe des dates d'anniversaire 01-09-13 à 20:48

lol FALLAIT PAS!
Maintenant en postant mon message y'aura moins de gens à le lire puisqu'il y a une réponse externe et donc ne figure pas parmi les topics sans réponses!


Revenons à nos moutons:

Bonsoir tout le monde,
Sur cette page de Facebook: , l'énigme suivante est postée par l'admin de la page:

Citation :
Combien faut-il de personnes au minimum, choisies aléatoirement dans un groupe, pour que la probabilité que 2 de ces personnes aient la même date d'anniversaire soit supérieure à 1 chance sur 2 ?
(Pour simplifier les calculs, les années bissextiles ne seront pas prises en compte).


J'ai résonné comme ceci et donné comme solution 20 personnes au minimum. Mais elle est fausse.

En effet, un des participants de la page a posté ceci:

Citation :
Tout d'abord, il est évident que le nombre de personnes est entre 2 et 365, parce que dans un groupe de 366 personnes ou plus, il y a forcément 2 ou plus qui sont nées le même jour (D'après le principe de tiroirs). Ensuite le cardinal de l'ensemble oméga est 365^n, avec n le nombre qu'on cherche. Si on note A l'événement inverse alors cardinal de A est égal à \dfrac{365!}{(365-n)!} Donc on cherche le plus petit entier naturel n tel que \dfrac{365!}{(365-n)!365^n} soit inférieure à 0,5.


Pour cela, il suffit de représenter la graphe des valeurs de la formule précédente de 2 jusqu'à 365 ainsi que la droite y=\dfrac{1}{2}, et restreindre intervalle jusqu'à ce que le plus petit entier naturel n tel que \dfrac{365!}{(365-n)!365^n} soit inférieur à 0,5 soit visible.
Voici les graphes:
1)
2)
3)

Le résultat est donc 23. Et c'est correcte.

Ensuite, l'admin de la page a posté ceci:

Citation :
Bonjour tout le monde,
Je vous propose une solution possible pour l'énigme d'hier, bien sûr ça n'est pas la seule méthode ...
Je vous propose un logiciel permettant de faire des programmes simple d'utilisation et qui prend très peu de place que vous pourrez télécharger à cette adresse :
Et vous trouverez également les liens de téléchargement de mon programme (ouvrable uniquement avec le logiciel) et le PDF pour ceux qui ne voudraient pas télécharger le logiciel:
Le programme:
Le PDF:


La conclusion de l'algorithme est: "Pour que la probabilité qu'au minimum deux personnes d'un groupe soient nées le même jour dépasse 1 chance sur 2 il faut au minimum 23 personnes".

L'algorithme bien entendu utilise la même formule que celle du participant.

Il est sans doute que cette formule est correct car elle représente l'événement inverse de ce que nous voulons et est assez simple, contrairement à la mienne où mon raisonnement est plutôt compliqué. En plus, pour n=28, ma formule dépasse 1 alors qu'une probabilité ne peut dépasser 1.

Le participant m'a déterminé mon erreur avec un contre exemple:

Citation :
Supposons par exemple qu'il y a 3 personnes et 3 jours A, B et C : D'après ta formule, le nombre total de possibilités sera 3.C(3,2).3 = 27 Or il n'y a en effet que 21 possibilités : AAB, AAC, ABA, ACA, BAA, CAA x3 (Puisque AA peut être remplacé par BB ou CC) et on y ajoute AAA, BBB et CCC ce qui donne en total 21.


J'ai donc changé de raisonnement:

Mais là c'est pire! Dès n=2, ça dépasse 1 et ça s'accroie. Pourtant, la formule suivante, un peu similaire et que je ne comprends pas, donne pour n=3 le nombre 21, le même nombre que l'exemple du participant: P=\sum_{k=1}^n3\,C_2^{k-1}\times A_2^{k-1}.

SVP Pouvez-vous m'aider à trouver la bonne formule (en utilisant l'événement direct et pas l'inverse) et m'expliquer comment vous l'avez trouvé?

Merci d'avance!

Posté par
LeDino
re : Paradoxe des dates d'anniversaire 02-09-13 à 01:43

Tu peux construire ta probabilité par récurrence :
Probabilité d'aucun doublon dans un groupe de k=1 :  P1 = 1.
Probabilité d'aucun doublon dans un groupe de k=2 :  P2 = P1 * (1-1/365)    :: car 1 place sur 365 déjà prise.
Probabilité d'aucun doublon dans un groupe de k=3 :  P3 = P2 * (1-2/365)    :: car 2 places sur 365 déjà prises.
...
Probabilité d'aucun doublon dans un groupe de k+1 :  Pk+1 = Pk * (1-k/365)    :: car k places sur 365 déjà prises.

\implies  \boxed {  P_n = \prod _{k=0} ^{n-1} (1 - \dfrac {k}{365})  }

En première approximation pour k/365 pas trop grand, ce produit est très peu différent de la puissance n-ième du terme moyen du produit.

\implies  \boxed {  P_n \simeq (1 - \dfrac {n-1}{730})^n  }

Les deux formules confirment qu'il faut attendre n=23 pour franchir le seuil de 50% de probabilité.

Posté par
Manga2
re : Paradoxe des dates d'anniversaire 02-09-13 à 11:21

Merci LeDino. J'ai bien compris ce que tu as fait (sauf comment t'as eu (1 - \dfrac {n-1}{730})^n comme approximation).

Toute fois, tu t'es basé sur l'événement inverse. N'y aurait-il pas une façon de le faire par l'événement direct? Ou je présume qu'elle est trop difficile, chose dont j'ai eu conscience après avoir su que ma première formule était fausse. Mais tout de même, j'espère...^^

Merci!

Posté par
LeDino
re : Paradoxe des dates d'anniversaire 02-09-13 à 18:46

Citation :
Toute fois, tu t'es basé sur l'événement inverse.
N'y aurait-il pas une façon de le faire par l'événement direct ?

Pour quoi faire ?

Ce serait effroyablement plus compliqué puisqu'il faudrait considérer le cas de 2, 3, ... k, ... n dates doublons, avec toute une pondération sur les manières de choisir k doublons parmi n...
Et ça conduirait évidemment au même résultat (en supposant qu'on y arrive sans se tromper ...).

Mais surtout je ne vois vraiment pas quel problème te pose l'utilisation de l'événement contraire.
C'est simple, c'est rapide, et c'est classique en probabilité.

Conclusion : pourquoi faire compliqué puisque tu as une solution simple ?

Posté par
LeDino
re : Paradoxe des dates d'anniversaire 02-09-13 à 19:01

Citation :
Merci LeDino. J'ai bien compris ce que tu as fait (sauf comment t'as eu (P_n \simeq 1 - \dfrac {n-1}{730})^n comme approximation).

La formule exacte est la suivante :

\boxed {  P_n = \prod _{k=0} ^{n-1} (1 - \dfrac {k}{365})  }

Si on considère deux à deux, les termes extrêmes de ce produit, c'est à dire le plus à gauche et le plus à droite, alors P_n sera le produit des couples suivants :

P_n = (1 - \dfrac {0}{365})(1 - \dfrac {n-1}{365}).(1 - \dfrac {1}{365})(1 - \dfrac {n-2}{365}).(1 - \dfrac {2}{365})(1 - \dfrac {n-3}{365})...(1 - \dfrac {k}{365})(1 - \dfrac {n-1-k}{365})...

Or chaque couple de termes pris ainsi deux à deux, admet un produit qui est pratiquement constant et proche de :

(1 - \dfrac { \frac {n-1}{2} }{365})(1 - \dfrac {\frac {n-1}{2}}{365})

Et donc au final, cela conduit à l'approximation suivante :

\implies  \boxed {  P_n \simeq (1 - \dfrac {n-1}{730})^n  }

Posté par
Manga2
re : Paradoxe des dates d'anniversaire 02-09-13 à 22:52

Je vois. Merci!

Je ne déteste pas utiliser l'événement contraire, mais croix moi: je suis connu pour ma complication des maths et physiques. En un contrôle deux lignes les autres et moi 1 pages. En un exercice d'olympiades, 3 ou 4 lignes les autres et moi 4 pages! (et en plus j'ai utilisé le "de même"). Et puis, mon prof de maths m'as dit un jour alors qu'il lisait un livre sur les citations, il a lu une me concernant:

Citation :
Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué


Et puis, je veut essayer par curiosité, mais puisque c'est si difficile que ça, alors j'abandonne.

Encore merci!



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