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Parallélisme et colinéarité

Posté par
TaniaPovver
05-11-16 à 23:08

Bonjour à tous et à toutes,
J'aurais besoin d'aide concernant un exercice dont l'énoncé est le suivant : Dans un repère (O;i;j) [i et j sont des vecteurs] on considère les droites Dm d'équations mx+(2-m)y+7m-10=0, où m est un réel.
1) Tracer les droites D0 et D1 puis déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
2) Montrer que les droites Dm passent par un point fixe F dont on déterminera les coordonnées.
3) Dans chaque cas, déterminer si possible la valeur de m pour que la droite Dm passe par le point :
a) A(3;0)
b) B(-1;1)
c) C(-3;4)
4) Soit un point M(xM;yM). Peut-on toujours déterminer une droite Dm passant par ce point ? Discuter suivant les valeurs de xM et yM. Donner alors les coordonnées de deux points par lesquels ne passent aucune droite Dm.
5) a) Donner un vecteur directeur de Dm.
b) En déduire pour quelle valeur de m la droite Dm est parallèle à l'axe des abscisses.
c) En déduire pour quelle valeur de m la droite Dm est parallèle à l'axe des ordonnées.


Mes réponses sont :
1) D0 : -2y-10=0
y=5 et D0 est parallèle à l'axe des abscisses.

D1 : x+y-3=0
Un point de D1 (3;0) et vecteur directeur (-1;1).

Point d'intersection (-5;8) -> par un système avec les deux équations cartésiennes

2) à l'aide d'un autre sujet sur le forum, je suis arrivée à la conclusion que les droites Dm passent par un point fixe F (-2;5).

3) a) m=1
b) m=1,6
c) impossible il n'y a pas de valeurs de m pour lesquelles la droite Dm passe par le point C.

Concernant les questions 4 et 5, je n'y arrive pas du tout...
Question 4 : faut-il essayer avec des exemples de coordonnées pour le point M ? Sinon, avec le cas général, qu'elle serait la méthode pour arriver au résultat ?
Question 5 : avec vecteur u(-b;a) ? D'après l'équation de droite du départ, je me suis retrouvée avec comme coordonnés pour le vecteur u [-(2-m)y;mx]...


Est-ce que les résultats des questions précédentes sont justes ? Mais surtout, pourriez-vous m'aider pour les deux dernières questions s'il-vous-plait ?

Je vous remercie par avance pour vos réponses.

Posté par
mkask
re : Parallélisme et colinéarité 05-11-16 à 23:33

Salut,
de premiere vue, D0 : 2y-10=0 et non -2y-10=0, donc refait ton systeme.
Tu dis que (-5;8) est le point d'intersection de D0 et D1, ensuite tu dis F (-2;5) est le point d'intersection de toute les droite, or D0 et D1 n'on  pas F pout point d'intersection, vois tu ?
Une fois que tu aura refait ton système, montre que pour toute valeur de m, les droite passe par ce point( en remplacent x et y dans Dm..)

Posté par
mkask
re : Parallélisme et colinéarité 05-11-16 à 23:38

Pour la 5)a), tu oublie que dans ax+by+c=0, dans u(-b;a) tu prend que les coefficient, pas le x et y avec..
Pour b) et c), tu sais qu'un vecteur directeur de l'axe des abscisse est (0;1), et il faut que (0;1) soit colinéaire avec le vecteur directeur de Dm, a toi.

Posté par
Frostisa
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 00:21

Salut,
Je suis une camarade de TaniaPovver et, effectivement, il y a une erreur à la question 1 : avec D0 et D1, on obtient x et y soit, y=5 et x=-2 car
D0 : y=5
D1 : y=-x+3
donc 5=-x+3 et x=-2
La question 2 est donc juste.

J'ai, par contre, toujours un problème avec la question 4. Je sais que la réponse est non car juste après, on nous demande 2 points par lequel Dm ne passe pas. Mais je ne sais pas du tout quels calculs faire.

J'ai le même problème avec la question 5 puisque j'ai trouvé pour 5a :
mx+(2-m)y+7m-10= 0
a=2-m
b=m
et c (non utile ici) = 7m+10
On a (-b;a) donc u(-2+m;m)

Puis, pour b : u // abscisses : il faut que m=0
Et pour c : u // ordonnées : il faut m-2=0 et donc m=2

Merci pour vos remarques et informations.

Posté par
Frostisa
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 00:24

Je me suis trompée pour la 5 :
a = m et b = 2-m

Posté par
mkask
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 02:25

Re bonsoir,
F(-2;5) est bien le point recherché, je n'ai pas tout recalculer mais, il faut le prouver, remplace xF et yF dans Dm et tu vois si le point appartient a toute les droite quelque soit la valeur de m.
Pour la 5b et 5c, lorsque. Deux vecteurs sont colineaires, tu as xy'-yx'=0,
Avec u(x;y) et v(x';y').
Donc ici tu as le vecteur directeur a l'axe des abscisse qui est (1;0) et non (0;1) comme je l'ai dis precedement..
.donc il faut que ce vecteur soit colineaire a (-2+m;m), tu va te trouvet face a une equation, que tu devra resoudre et conclure.
Pour la 5c, un vecteur directeur a l'axe des ordonné est (0;1), qui doit aussi etre colineaire avec (-2+m;m).

Posté par
mkask
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 02:41

J'ai repris et expliqué la 5 mais tu as tout a fait raison aussi !
Pour la 4, essaye de remplace x par xm et y par ym, et met en facteur m.

Posté par
Frostisa
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 10:35

Bonjour,
Tout d'abord, merci pour votre aidemkask.
Pour le 2, voici ce que j'ai fait :
mx+(2-m)y+7m-10=0
mx+2y-my+7m-10=0
m(x-y+7)+2y-10=0
2y-10=0           x-y+7=0
y=5                      x-5+7=0
                               x=-2
Donc F a bien comme coordonnées (-2;5).

Pour la 3, j'ai trouvé les mêmes résultats que TaniaPovver.

Pour la 4 je n'ai vraiment avancée :
M(xm;ym)
xm : -2
ym : 5

Quand à la question 5 :
a- Comme écrit dans mon ancien message.
b- Pour que u soit parallèle aux abscisses, il faut que m=0
      Le vecteur directeur est donc (1;0).
      Nous savons que lorsque 2 vecteurs sont colinéaires, xy'-x'y=0
      Donc : 1*m-(-2+m)*0=0
                      m=0
c-Pour que v soit parallèle aux ordonnées, il faut que m=2
     Le vecteur directeur est (0;1).
     Nous savons que lorsque 2 vecteurs sont colinéaires, xy'-x'y=0
     Donc : 0*m-(-2+m)*1=0
                                         -2+m=0
                                                 m=2

Voilà, il ne me reste plus que la question 4.
Merci beaucoup

Posté par
TaniaPovver
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 11:20

Salut !
Je suis de retour après une bonne nuit de sommeil 😉.
Merci Frostisa et mkask de m'avoir éclairé sur certains points.

Pour la question 1, j'ai compris mon erreur pour D0, excusez-moi. Heureusement, le résultat ne change pas malgré le changement de signe. Cependant, je n'ai pas bien compris les changements qu'a effectué Frostisa. Pourquoi as-t-elle replacé y par 5 ?

Pour la question 2, en effet, mon résultat n'était pas logique, merci de me l'avoir fait remarquer ! La réponse de Frostisa me paraît bonne, l'est-elle vraiment ?

La question 3 est-elle correcte ? (Je pense que oui...)

Pour la 4, j'ai suivi vos conseils mkask, et voici ce que j'ai fait :
équation de droite de base : mx+(2-m)y + 7m-10=0
J'ai remplacé x et y par xM et yM :
mxM+(2-m)yM+7m-10=0
J'ai mis m en facteur : m(xM-2yM+7)-10=0
Puis j'ai tenté de résoudre cela avec la propriété du produit nul.
m=0 ou xM-2yM+7-10=0
xM-2yM-3=0
J'ai ensuite fait une parabole pour résoudre cette équation à deux inconnues.
{xM=2yM+3
{2yM+3-2yM-3=0
Le probleme que j'ai à présent est que les yM se simplifient !
Si on prend m=0, cela nous donnerai 0-10=0 ce qui est impossible...


Pourriez-vous me dire si ma démarche est bonne ?

Je vais me pencher sur la 5 à présent, en attendant vos réponses... 😄

Posté par
TaniaPovver
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 11:29

Pour la question 2, je suis arrivée au même résultat que Frostisa, mais j'ai fait beaucoup plus d'étapes il me semble...

Je suis partie de ceci :

(10-7m-mx)/(2-m)=(10-7m^-m^2)/(2-m^2)

Je pense que j'ai dû faire bien plus d'étapes, dans un calcul assez complexe et inutile, la série de calculs de Frostisa me paraît plus judicieuse.

Quand à la question 5, ça y est, j'ai compris ! J'ai trouvé le même résultat en faisant à peu près les mêmes étapes que Frostisa.

Posté par
Frostisa
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 11:37

La démarche que tu as faite pour la question 2, je ne vois pas tellement comment tu l'as sortie à vrai dire ^^.
J'ai remplacé y par 5 car D0 : y=5.
Quand à la question 4, je suis bloquée...

Posté par
TaniaPovver
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 11:44

Frostisa, pour la question 1, j'ai essayé de trouver un point d'ordonnée 0, parce que c'est plus simple 😉, qui appartienne à la droite !
Réutiliser y=5 de D0, je n'ai pas bien compris pourquoi car les deux droites sont totalement indépendantes malgré l'équation de droite semblable...
Mais apparemmement, tu aurais trouvé juste, car juste après pour les coordonnées du point d'intersection, tu trouves la bonne réponse ! Alors si quelqu'un acceptait de m'expliquer cela, j'en serais soulagée car je comprendrais enfin pourquoi j'ai eu faux... ^^

Posté par
mkask
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 11:47

Salut  !
Pour la question 2, il te suffisais juste de trouver le point d'intersection entre D0 et D1.
Ici c'est F(-2;5) donc en remplacent x et y dans Dm tu obtiens
-2m+(2-m)5+7m-10=0
-2m+10-5m+7m-10=0
0m+0=0
0=0
Les coordonnées de F vérifie bien l'équation, quelque soit la valeur de m, et c'est finit

Posté par
mkask
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 12:00

Pour la 4), qui a l'air de posé problème, j'ai dis de remplacer x et y par xm et ym, tu obtiens
mxm+(2-m)ym+7m-10=0
mxm+2ym-mym+7m-10=0
m(xm-ym+7)+2ym-10=0
m(xm-ym+7)=-2ym+10
m=(-2ym+10)/(xm-ym+7).
Pour quelle valeur de m cela est impossible ( valeur interdite!) ?

Posté par
TaniaPovver
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 12:27

Pour la question 2, oui, je me suis cassée la tête pour rien... 😂 Merci !

Pour la question 4 :

si xM=-2 et yM=5 par exemple, ce serait impossible ! On aurait m=(-2yM+10)/(xM-yM+7)
m=(-2*5+10)/(-2-5+7)
m=0/0 -> impossible


J'aurais donc ici les coordonnées d'un point par lequel ne passe aucune droite Dm... Est-ce juste ? 😉

Posté par
mkask
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 12:31

Parfait..!

Posté par
TaniaPovver
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 12:33

Une autre camarade m'a donné sa démarche pour la question 4, la voici :

On ne peut pas toujours déterminer une droite Dm passant par le point M (xM;yM) car il faut que FM[vecteur](xM+2 ; yM-5) et u[vecteur aussi](m-1 ; m) soient colinéaires. Si le vecteur FM a une abscisse et une ordonnée égale, alors aucune droite Dm ne passé par M (xM ; yM).
Aucune droite Dm ne passé par C(-3;4) comme vu précédemment.
Si xM+2=yM-5 alors xM+2=4
xM=2
Et yM-5=4
yM=9
Le point M (2;9) n'est pas sur aucune droite Dm.


Qu'en pensez-vous ?

Posté par
TaniaPovver
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 12:36

OUIIII ! Merci beaucoup mkask !

Posté par
mkask
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 12:36

J'ai mal lus, c'est pas faux mais, même si tu aurait 10/0, 20/0 et même 190/0, ce serait impossible, car il est impossible de diviser par 0, donc c'est seulement le dénominateur qui doit être different de 0.
Soit xm-ym7 OK ?
Il y a donc plein de point par lesquels la droite ne passe pas mais on t'en demande 2.
Tu as en effet le point (-2;5) car -2-5=-7 et ca c'est impossible car on aura un dénominateur nul !
Tu as aussi le point (-6;1) par exemple, -6-1=-7, ce qui est aussi impossible, et voila tu as tes 2 points.

Posté par
mkask
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 12:37

mkask @ 06-11-2016 à 12:36


Soit xm-ym-7 OK ?
.

Posté par
TaniaPovver
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 12:41

Oui, en effet, vous avez raison ! 😄 j'ai compris !
Merci beaucoup !!!
Je vais aller déjeuner et puis je reprendrais au propre tout cela... 😉
Je vous redemanderai si quelque chose me paraît encore confus... Ainsi que Frostisa aussi...

Posté par
Frostisa
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 12:43

Merci beaucoup pour l'aide mkask !

Posté par
mkask
re : Parallélisme et colinéarité 06-11-16 à 12:44

TaniaPovver, pas de soucis, n'hésite pas !
Frostisa Je vous en pris,
je retrourne faire mes devoirs de mon coté



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