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Parité d un fonction
Bonjour !
Encore un petit exercice, j'ai besoin de votre aide...
Soit f une fonction définie sur 
On pose p(x)= et i(x)=
1°)
J'ai d'abord étudié leur parité
p est une fonction paire
i est une fonction impaire
2°)
Ensuite, j'ai montré que f pouvait s'écrire comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire
p(x)+i(x)=f(x)
3°)
Determiner toutes les fonctions à la fois paires et impaires sur
Alors là par contre j'ai un peu de mal à cerner la question. Je suis arrivé à ce résultat mais est-ce suffisant.
Si f est une fonction à la fois paire et impaire alors
f(x)=f(-x)=-f(x) 
2f(x)-f(-x)=0
4°)
On suppose dans cette question que f admet deus décompositions comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire, i.e. qu'il existe p1 et p2 paires, i1 et i2 impaires telles que f=p1+i1=p2+i2
a. Montrer que p1-p2 est à la fois paire et impaire
b. En déduire que la décomposition de f comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire est unique.
(La je ne vois pas du tout)
Si je comprend bien, il existe 4 fonctions au total qui sont à la fois paires et impaires :
f(x)-f(-x)=0
2f(x)=0
f(x)=0
f(-x)+f(x)=0
c'est ça ou pas ?
?!
dans ce cas, c'est laquelle puisqu'on demande "Determiner toutes LES fonctions..." ?
ah ba oui logique !
en fait ce qui me trouble c'est qu'il est question de fonctionS au pluriel et on en trouve qu'une...
et tu as compris la question 4° ?
Un ensemble peut très bien être constitué d'un seul élément.
D'ailleurs heureusement qu'il existe une seule fonction de ce type, car sinon la décomposition ne serait pas unique.
Et oui, j'ai compris la question 4.
Heureusement d'ailleurs.
oui heureusement pour toi...jte cache pas que j'aimerai bien la comprendre...
tu as le temps de me donner un tit' coup de main ?!
En fait la 4.a revient à démontrer que p1=p2 puisque que tu sais maintenant que la seule fonction à la fois paire et impaire est la fonction nulle.
Puisqu'on a forcément i1=i2 et p1=p2, la décomposition est forcément unique.
à+
f(x)=p1(x)+i1(x)=p2(x)+i2(x)
f(x)=p1(x)-p2(x)
f(x)=0
Or la seule fonction à la fois paire et impaire est la fonction nulle.
Donc p1-p2 est à la fois paire et impaire.
En revanche j'ai pas du tout compris la suite de ton raisonnement...
Ce que tu as écrit est faux.
Tu peux montrer ensuite que la somme de deux fonctions paire est paire et que la somme de deux fonctions impaires est impaire pour conclure.
à quoi cela me servirait de montrer que la somme de deux fonctions paires et paire et que la somme de deux fonctions impaires est impaire...je ne vois pas trop le rapport avec la question 4.
On sait que la fonction nulle est à la fois paire et impaire.
On veut montrer que p1-p2 est à la fois paire et impaire, autrement dit que p1-p2 est une fonction nulle du type f(x)=0
Le problème c'est que je n'ai pas compris comment on peut le montrer...
Pour tout te dire, le devoir n'est pas noté, donc si j'ai faut c'est pas important, je peux ne pas le faire, seulement on va avoir un controle et j'aimerai avoir assimilé le maximum de chose, c'est pour ça que je t'embete un peu...jsuis désolé, mais si tu peux m'expliquer de nouveau ça serait bien.
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