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Niveau terminale
Parité de multiples consécutif
Posté par suanshu
Bonjour,
Dans le tableau suivant la première ligne donne les entiers consécutifs 2, 3 et 4.
La deuxième ligne donne trois entiers consécutifs et multiples respectivement de 2, 3 et 4.
| 2 | 3 | 4 |
| 14 | 15 | 16 |
1) Déterminer (en justifiant) la parité de la somme et du produit de deux entiers impairs.
2) Déterminer une autre solution.
3) Déterminer toutes les solutions.
4) Reprendre les deux questions avec 3, 4 et 5.
a) Chercher une solution particulière
b) Trouver toutes les solutions
Pour la question 1 j'ai fait :
Un entier impaire peut s'écrire sous la forme 2x + 1 avec x un entier relatif.
Soit deux entier impaire 2x +1 et 2y +1 avec x et y entiers relatif
2x+ 1 + 2y+1 = 2x+2y +2 = 2(x+y+1)
Donc la somme de deux entier impair est paire
(2x+1)(2y+ 1) = 4xy +2x + 2y +1 = 2(2xy+x+y) +1
Donc le produit de deux entier impaire est impaire.
Pour la question 2 je trouve
34,35,36 mais je ne vois pas comment je peux rédiger ca j'ai juste tester .
Pour la question 3,
je la trouve en trouvant une relation entre les différent résulta ce qui donne que les solution sont les couples sont (12n+2),(12n+3), (12n +4) mais pour rédiger comment je trouve ca la encore c'est en testant.
Mais je ne vois pas comment utiliser les réponses de la question 1 afin de répondre au autres question et comment rédiger.
Bonjour,
Pour la 3, tu donnes :
(12n+2),(12n+3), (12n +4)
12 ne serait-il pas le PPCM de 2, 3 et 4 ?
En y réfléchissant, tu devrais pouvoir rédiger tes réponses.
... Et trouver ce qu'il faut faire dans la question 4.
Pour qu'un nombre consécutif soit multiple de 2,3,4 il faut que chaque nombre soit multiple du plus petit multiplicateur commun plus le nombre 2,3,4
Car la somme d'un nombre multiple de 2 et 2 est multiple de 2.
Car la somme d'un nombre multiple de 3 et 3 est multiple de 3.
Et ainsi de suite.
Hors ppcm(2,3,4) = 12
Donc les solution sont les couples sont les couples sont (12n+2),(12n+3), (12n +4) n étant un entier .
Ca va comme rédaction ?
Bonjour,
Non, ça ne va pas.
On ne voit pas de lien entre les lignes que tu écris.
Une méthode qui n'est peut-être pas la plus simple :
Avec N-1, N et N+1, s'intéresser aux restes possibles de N par le ppcm.
Plus simple :
Si deux triplets (N-1, N, N+1) et (M-1, M, M+1) sont solutions pour (2,3,4) que dire de M-N ?
Mais je ne vois toujours pas ce que vient faire là la question 1) 
Finalement la question 1 ne sert effectivement a rien dans l'exercice a dit mon professeur
Pour la question 3 ducoup je ne comprends pas comment faire le PPCM de lettre n-1,n,n+1
Mais j'ai fait cette rédaction
Un nombre multiple du nombre n entier + n est forcément un multiple de n
Hors 2,3 et 4 sont consécutifs et leur multiple respectif peuvent s'écrire sous la forme k1*2 +2, k2*3 + 3, k3*4+4
Hors pour que les multiples de 2, 3 et 4 soit consécutifs on a
K1*2=k2*3=k3*4
K1*2,k2*3, k3*4 sont des multiples de 2, 3 et 4 soit le plus petit multiple hors PPCM de (2,3,4) = 12
Donc les solutions sont sous la forme 12x+2,12x+3,12x+4 avec x un entier
Je peux encore développer en montrant pourquoi on obtient 12 avec 14-2, 15-3,16-4 ou c'est bon?
Citation :
Je peux encore développer en montrant pourquoi on obtient 12 avec 14-2, 15-3,16-4 ou c'est bon?
Oui tu peux, car ce qui précède ne démontre rien.
Je peux encore développer en montrant pourquoi on obtient 12 avec 14-2, 15-3,16-4 ou c'est bon?
14-2 est un multiple de 2 car 14 est un multiple de 2 et 2 aussi.
15-3 est un multiple de 3 car 15 est un multiple de 3 et 3 aussi.
16-4 est un multiple de 4 car 16 est un multiple de 4 et 4 aussi.
Avec (N-1, N , N+1) un triplet solution, remplacer dans les trois lignes précédentes 14, 15 et 16 par N-1, N et N+1 va donner quelque chose sur l'entier N-3.
Citation :
Oui tu peux, car ce qui précède ne démontre rien.
Je crois avoir fini par comprendre ce que tu as démontré.
Oui tu peux, car ce qui précède ne démontre rien.
Je vais faire un autre message pour tenter de clarifier.
J'utilise les lettres u, v et w au lieu de k1, k2 et k3 :
Les multiples de 2, 3 et 4 peuvent s'écrire 2u+2, 3v+3 et 4w+4.
S'ils sont consécutifs on a 2u = 3v = 4w.
En notant K = 2u = 3v = 4w, on a K multiple de 3 et 4 ; donc de 12.
K = 12k avec k entier.
Un triplet solution est donc de la forme (K+2, K+3, K+4) avec K = 12k où k est entier.
Il reste à vérifier que les triplets de la forme (12k+2,12k+3, 12k+4) avec k entier sont solutions.
Citation :
Il reste à vérifier que les triplets de la forme (12k+2,12k+3, 12k+4) avec k entier sont solutions.
Il reste à vérifier que les triplets de la forme (12k+2,12k+3, 12k+4) avec k entier sont solutions.
Pour faire ça je peut dire que le triplet (14,15,16) qui est une solution peut s'écrire sous la forme (12*1+2,12*1+3,12*1+4)
Non, il faut traiter avec k.
Solution signifie deux choses :
a) Consécutifs.
b) Multiple de 2 pour le premier, de 3 pour le second et de 4 pour le dernier.
Ce n'est pas compliqué à vérifier.
Donc consécutifs car 2,3,4 sont consécutifs
Donc 12k+2,12k+3,12k+4 sont aussi consécutifs
12k+2=2(6k+1)
12k+3=3(4k+1)
12k+4=4(3k+1)
Donc 12k+2,12k+3,12k+4 sont aussi des multiples respectivement de 2,3,4.