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pb : fonctions ou suites (faut une astuce)

Posté par Tifa (invité) 23-05-03 à 19:18

bonjour!
c'est un devoir maison et jsuis complètement bloquée.

On considère la fonction f définie sur naturel ( |N )de la manière suivante
:
{ f(1)=2003
{ f(1) + f(2) + f(3) + ...+ f(n) = n² * f(n)   pour n>1
Calculer f(2003).on donnera la valeur exacte.

Pour trouver f(2003), on pourrait calculer tous les f(2), f(3) ... ms
cela est trop. Il y a une astuce que je ne connais pas. Je sais juste
qu'à un moment de la résolution nous devons utiliser (réduire)
la notation "n!" (lire factorielle n).
n! = n* (n-1) * (n-2) *...* 1
exemple :
8! = 8*7*6*5*4*3*2*1
3! = 3*2*1 = 6

Je vous remercie de m'aider à trouver la piste.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : pb : fonctions ou suites (faut une astuce) 23-05-03 à 19:48

f(1) + f(2) + f(3) + ...+ f(n) = n² * f(n)      (1)
f(1) + f(2) + f(3) + ...+ f(n) + f(n+1) = (n+1)² * f(n+1)     (2)

(2) - (1) ->
(n+1)² * f(n+1) - n² * f(n)  = f(n+1)
(n²+2n+1) * f(n+1) - n² * f(n)  = f(n+1)
(n²+2n) * f(n+1) - n² * f(n)  = 0
(n²+2n) * f(n+1) = n² * f(n)  
(n+2) * f(n+1) = n * f(n)  
f(n+1) = [n/(n+2)]*f(n)

f(2003) = (2002/2004)*f(2002)
f(2002) = (2001/2003)*f(2001)
->
f(2003) = (2002/2004)*(2001/2003)*f(2001)
f(2003) = (2002*2001)/(2004*2003)*f(2001)

f(2001) = (2000/2002)*f(2000)
->
f(2003) = (2002*2001*2000)/(2004*2003*2002)*f(2000)
Et en continuant ainsi ,on trouve:

f(2003) = (2002*2001*2000* . . . *3*2*1)/(2004*2003*2002* ... *5*4*3 )*f(1)

On simplifie et il vient:
f(2003) = (2*1)/(2004*2003)*f(1)
Comme f(1) = 2003 ->

f(2003) = (2*2003)/(2004*2003)
f(2003) = 2/2004 = 1/1002
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