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PETIT DEVOIR, ( Dérivation et limites )
Bonjour à tous =).
Depuis le début des vacances scolaires je me consacre petit à petit à mon DM de math.
Malheureusement, j'ai quelques petites difficultés. Je ne suis pas sur de mes résultats et de ce que je dois faire dans certaines questions. Etant donné que je n'ai personne qui puisse m'aider dans mon entourage. j'espère un petit peu d'aide de votre part et de la compréhension pour les quelques difficultés que je rencontre.
Je propose d'écrire avant tout l'énoncé, puis d'exposer ce que j'ai fait et mes quelques questions =).
Je vous remercie d'avance...
Soit une fonction f définie sur R par:
f(x)= (x-2).g(x)
où g est une fonction définie et dérivable sur R, ne s'annulant jamais et telle que g(1)=2 et g(2)=1.
1.a Soit h la fonction définie sur R\{2} par:
h(x) = 1 / f(x)
Si on suppose que, pour tout nombre réel x différent de 2, h(x)= 
/ x-2 + 
/ g(x), déterminer les valeurs nécessairement prises par et ; on évaluera en déterminant la limite de (x-2)h(x) quand x tend vers 2 et on déduira en calculant h(1) de deux façons différentes.
b. Evaluer h(3) en utilisant les deux formes disponibles de h(x). Que peut-on en déduire concernant l'écriture de h(x) envisagée au 1.a ?
2.a Soit H la fonction définie sur R\{2} par:
H(x)= 1 / (x-2)(x²-4x+5)
Vérifier que cette dernière expression est calculable pour tout nombre réel x différent de 2 puis prouver qu'il n'existe pas de nombres réels et tels que pour tout réel x différent de 2: H(x)= / x-2 + / x²-4x+5.
b. Prouver que s'il existe trois réels a, b et c tels que H(x)= a/ x-2 + (bx+c)/(x²-4x+5) alors a vaut nécessairement 1 ( évaluer la limite de ( x-2)H(x) quand x tend vers 2 ).
c. Evaluation de b et c avec le tableur de la calculatrice: éditer votre calculatrice ( H(x)- 1/ x-2 ).(x²-4x+5), régler votre tableur à partir de 10 avec un pas de 10. Afficher la table des valeurs et conjecturer les valeurs de b et c.
3. Vérifier enfin que, pour tout x différent de 2, H(x)= a/x-2 + (bx+c)/(x²-4x+5) avec les valeurs de a, b et c trouvées ci-dessus.
Mon travail:
1.a Evaluation de :
Lim (x-2).h(x) (lorsque x 
2 ) * lim x-2 ( lorsque x2) = 0
D'où: lim (x-2).h(x) (lorsque x2) = 0
Donc vaut 0.
Evaluation de :
h(x)= 0/ x-2 + / g(x) 
h(x)= / g(x).
h(1)= 1 / f(1) ; Or, f(1)= (1-2).g(1) = -2
h(1) = -1/2
De plus : h(1) = / g(1); Or g(1)=2
D'où: h(1)= /2 = h(1)* 2 = -1/2*2= -1.
donc, veut -1.
b. Evaluation de h(3):
première forme: h(3)= 1 / f(3) h(3)= 1/ 1*g(3)= 1/g(3).
seconde forme: h(3)= / g(3) h(3) = -1/ g(3)
Voilà pour la première partie, ce qui m'étonne beaucoup c'est la différence des résultats pour le b, je me demande si cette différence fait suivre justement la question posée avec " en déduire ".
J'apprécierai sincèrement votre aide.
Pour la seconde partie, ma question va peut être vous sembler stupide, mais " vérifier que cette dernière expression est calculable" et " prouver qu'il n'existe pas de nombres réels et tels que pour ..." ces questions me paraissent simples mais j'ignore comment les rédiger correctement et mon professeur est un homme exigeant et rigoureux. j'apprécierai des conseils de votre part.
Quant à la suite, j'attends d'être sur des questions précédentes avant de m'y consacrer mais j'ai tout de meme une idée. Dés que je l'aurai rédiger je vous en ferai part.
Je ne vous demande aucunement des réponses, mais ce que vous pensez de ce que j'ai déjà fait et si cela vous semble correct ainsi que des conseils =). Merci d'avance =).
Up ! Je suppose qu'en soirée il n'y a pas grand monde. J'espère avoir une petite aide bientot =].
merci d'avance...
Alors, déjà dans la première question, tu as voulu aller trop vite !
donc
du coup la limite quand x tend vers 2 est 1/g(2) = 1
ton alpha et ton bêta sont à recalculer ....
Je te remercie de m'accorder de ton temps.
En effet je vois mon errreur, je reprends ça et te montre...
1.a Evaluation de :
Donc d'après le calcul de la limite: vaut 1.
Evaluation de :
Nous avons; h(x)= [1/(x-2)]+ [/(g(x))]
h(1)= 1/ f(1) h(1)= -1/2
donc, h(1)= -1 + /2 -1/2= -1 + /2
=1
donc vaut 1.
qu'en pensez vous ?
Merci =).
Concernant l'écriture de h(x) envisagée au 1.a_ Celle-ci n'est pas juste, n'est-ce pas ? on ne retient que la première expression ?
J'ignore si vous avez lu la fin de mon premier message ...j'aimerai savoir comment vérifie-t-on correctement ? s'il vous plait. Juste quelques conseils et une explication.
Merci de m'accorder un peu de votre temps =)
en effet, l'écriture proposée ne peut pas convenir : elle conduirait à 1 = 0 ....
pour la question 2a, tu dois chercher si le trinôme a des racines : s'il en a ce seront des valeurs interdites
ensuite, utilise la question 1 en remplaçant g(x) par le trinôme : h deviendra H
Merci beaucoup =).
J'ai compris. Je m'exécute et vous fait part de mon travail =).
Merci encore pour votre aide.
2.a. Le trinôme n'admet aucune racine 
0.
Malheureusement, je ne peux pas le prouver de cette manière...=S
Non, je m'excuse, je m'avance trop rapidement.
En effet, le trinome n'admet aucune racine, donc pas de valeurs interdites =).
L'expression est donc calculable. Je m'excuse.
Je continue la suite ...
2.a
On remplace g(x) par le trinôme, on a h(x) qui devient H(x) ( votre indication) :
on a donc cette expression pour H(x): [1/(x-2)] + [1/ ( x²-4x+5)].
Pour prouver qu'il n'existe pas de nombres réels et tels que pour tout x différent de 2 on ait: H(x)= [ 1/(x-2)] + [1/ (x²-4x+5)], On montre l'inégalité :
[1/(x-2)] + [1/(x²-4x+5)] = (x²-3x+3)/[(x-2)(x²-4x+5)] ; Or, H(x)=1/ [(x-2)(x²-4x+5)]
Donc, Il n'existe pas de nombres réels et .
La rédaction est-elle bonne ? je vous remercie encore. Je passe à la suite et vous le montre. =)
2.b
Evaluation de la limite de (x-2)H(x).
Lim (x-2)H(x) ( lorsque x2) lim(x-2)*1/(x-2)(x²-4x+5)
lim 1/(x²-4x+5) ( lorsque x2)
*lim 1 ( lorsque x 2) = 1 (fct cste)
*lim x²-4x+5( lorsque x2) = 1
_D'après le théorème sur la limite d'un quotient: lim(x-2)H(x) (lorsque x2)= 1.
Donc, a vaut 1.
Par contre je ne comprends pas, en quoi le fait de déterminer la limite justifie la valeur de a ?
2.c
Evaluation de b et c.
(H(x)-1/x-2).(x²-4x+5) = ( [1/(x-2) + (bx+c)/(x²-4x+5)] - 1/(x-2) ).(x²-4x+5)
bx+c
Avec la table des valeurs: On a : bx+c = y ; pour x=20 ; b*20+ c = -18
On conjecture que b= -1 et c= 2.
3. On vérifie:
1/(x-2)+ (-1x+2)/(x²-4x+5) = 1/(x-2)(x²-4x+5)= H(x)
Pour tout x différent de 2, on a bien: H(x)= 1/(x-2) + (-1x+2)/(x²-4x+5) .
Merci de me dire ce que vous en pensez =).
me revoilà !
pour la non existence de alpha et bêta, pas besoin de re-développer ! tu as dit au 1.b que cette écriture était impossible puisqu'elle conduisait à une absurdité (1 = 0).
pour 2b), si tu as , alors tu as aussi
: ça tend vers a quand x tend vers 2. Comme tu as montré par ailleurs que la limite est 1, si on peut écrire H(x) comme ça, c'est forcément avec a=1
Daccord.
Je vous remercie beaucoup. Vous m'avez été d'une grande aide. Merci infiniment pour vos conseils.
Je vous souhaite une très bonne soirée et bonne continuation =).
merci, bonne soirée à toi aussi, et qui sait, à une autre fois ?
bon courage pour les olympiades et pour travailler avec tes petits frère et sœur 
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