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Petit exercice de proba (variable aléatoire)
Bonjour,
J'ai un exo de proba à faire mais je reste un peu bloqué, carrément bloqué même ! Je vous donne l'énoncé.
Initialement, une puce se trouve sur la case de la grille ci-dessus. La puce se déplace sur la grille en sautant d'une càse à une autre case adjacente. (Deux cases sont adjacentes si elles ont un côté commun. La puce ne se déplace donc pas en diagonale.) Chaque case est atteinte avec la même probabilité !
Soit la variable aléatoire égale aux nombres de sauts nécéssaires pour que la puce revienne sur la case
.
a) Donner l'ensemble des valeurs possibles pour .
b) Donner la loi de probabilité de .
c) Calculer, si elle existe, l'espérance de .
d) Calculer la variance et l'écart-type de .
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Pour la question a), les valeurs possibles de sont tous les nombres entiers pairs (excepté 0). La puce pour tourner indéfiniment sans jamais repasser par
...
C'est tout ce que j'ai fait 
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Merci pour votre aide,
Francis
Je n'aime pas le calcul de proba.
Et donc méfiance ... 
a) OK
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b)
X = 2
saut 1, soit en I1, I2, I3 ou I4
de l'une quelconque de ces positions, 1 cas revient en Po et 2 cas non.
--> Proba que x = 2 est 1/3
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Proba que x différent de 2 = 2/3
La puce est alors sur une des cases P1, P2, P3 ou P4
--> elle ne peut sauter ensuite que sur des cases I1, I2, I2 ou I4
Le 4 ème saut à comme possibilités 2 cases différentes de P0 et la case P0 -->
Proba que x = 4 est (2/3).(1/3) = 2/9
La proba que x > 4 est donc 1 - (1/3) - (2/9) = 4/9
Proba que x = 6 est (4/9).(1/3) = 4/27
La proba que x > 6 est donc 1 - (1/3) - (2/9) - (4/27) = 8/27
Proba que x = 8 est (8/27).(1/3) = 8/81
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Proba que x = 2n est: (1/3) * (2/3)^(n-1)
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c)
Espérance de X = Somme depuis k = 1 à oo de [(1/3) * (2/3)^(n-1) * 2n]
Sauf erreur (Merci Excel), on trouve: Espérance de X = 6
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Soit a élément de]0,1[ la probabilité avec laquelle la puce passe d'une case à l'autre
probabilite de X=2k: p(X=2k)=a^2k=a²^k pour tout k entier naturel non nul
on détermine a en ecrivant que la somme des p(x=2K)=1
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