L'affaire se passe aux Indes. Au pied d'une colline, il
y a un monastère bouddhique ; au sommet de cette colline, un ermitage.
Un moine décide d'aller faire un jeûne de sept jours dans cet
ermitage. Il part au lever du soleil. Le sentier est très irrégulier,
tantôt montant de façon abrupte, tantôt descendant dans les ravins,
ou passant sur de petits ponts.
Le moine arrive au sommet, fait son jeûne. Il repart au lever du soleil
(On ne tient pas compte du décalage horaire de ce lever, à cause
de l'avance de la saison et de la différence d'altitude).
Il redescent d'un pas léger mais un peu ralenti par l'affaiblissement
dû au jeûne, bien que sa marche soit facilitée, en moyenne, par la
pente. Il rentre au monastère.
Question : Y-a-t-il un point du sentier où le moine est passé à la même heure,
à la monté et à la descente ?
OUI.
Supposons que cette heure (instant) existe.
Soit v1 la vitesse moyenne, pour le trajet aller, du moine entre le moment
de départ et le point du sentier où le moine est passé à la même
heure, à la montée et à la descente
Soit v2 la vitesse moyenne, pour le trajet retour, du moine entre le moment
de départ et le point du sentier où le moine est passé à la même
heure, à la montée et à la descente
Soit d la distance entre le monastère et l'ermitage.
Soit t le temps marché (à l'aller comme au retour) entre le moment
du départ et le point du sentier où le moine est passé à la même
heure, à la montée et à la descente
On a:
e1 = v1*t (espace parcouru à l'aller entre le moment ...)
e2 = v2*t (espace parcouru au retour entre le moment ...)
Pour que cela corresponde à un même point sur le sentier , il faut que:
e1 = d - e2
v1*t = d - v2*t
t = d/(v1 + v2)
Comme ce temps est inférieur à d/v1 et à d/v2, cela arrive forcément pendant
le temps de parcourt du moine.
Et donc il y a un point du sentier où le moine est passé à la même heure,
à la montée et à la descente.
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Sauf distraction.
Enlevons tout ce qui est inutile dans l'énoncé. Qu'importe
que cela se passe aux Indes ou dans un lieu bouddhisme ; qu'importe
que ce soit 7 jours plutot que 20 et un jour ou deux jours. Cela
revient strictement au meme que si c'était 0 jours. Il reste
deux mobiles sur le meme parcour qui partent en meme temps. C'est
forcé qu'ils se croisent et alors ils sont au meme endroit au
meme moment. La reponse est donc "Oui".
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