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Niveau première
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point d'intersection

Posté par
School
02-03-16 à 09:55

Bonjour, je suis bloqué à cet exo, pouvez-vous m'aider svp ?

On considère les droites d'équation
(d1) : 2x+3y-15=0
(d2): 5x-y+5=0
(d3): x+1.5y+2=0
(d4):y=5x-7

Déterminer le point d'intersection.

Posté par
School
re : point d'intersection 02-03-16 à 09:57

Voilà ce que j'ai fais :

J'ai mis (d4) sous la forme cartésienne et j'ai mis les même coefficient devant y :
On a (d4): -5+y+7=0

Le système à résoudre après avoir mis le coef devant y est :
2x+y=15
15x-3y=-15
2x+3y=-4
-15+3y=-21


Le problème c'est que quand je soustrais, toute les lignes, j'ai 0x et 0y= 55 :/

Posté par
kenavo27
re : point d'intersection 02-03-16 à 10:09

bonjour,
imaginons que tu n'aies que 2 droites d1 et d2  et tu dois trouver le point d'intersection.
on a le système
(d1) : 2x+3y-15=0
(d2): 5x-y+5=0
ou
système équivalent à si on multiple par 3 l'équation d2
Et additionnons

d1= 2x+3y-15
d2=15x-3y+15=0
---------------------------
d1+d2= 17x=0
x=0
trouvons y en remplaçant x par 0 dans une des équations
par exemple prenons d1
d1) : 2x+3y-15=0

3y-15=0
ou
y=15/3=5

Posté par
mdr_non
re : point d'intersection 02-03-16 à 10:09

bonjour : )

Penses-tu que deux droites parallèles peuvent se croiser ?

1) Regroupe les droites parellèles. Qu'obtiens-tu ?
2) Calcule les intersections entre un groupe de droite et l'autre.

Posté par
Pirho
re : point d'intersection 02-03-16 à 10:15

Bonjour,

bonjour kenavo27 et mdr_non : vous avez été plus rapides que moi

Posté par
mdr_non
re : point d'intersection 02-03-16 à 10:19

salut kenavo27, Pirho : )

Posté par
geo3
re : point d'intersection 02-03-16 à 11:15

Bonjour
la (d4) ne serait pas -15x +3y= - 21
si c'est le cas (d4) est // disjointe à (d2)
A+

Posté par
School
re : point d'intersection 02-03-16 à 17:02

Bonjour,

On a les 4 droites d'équations :
(d1):  2x+3y-15=0
(d2):  5x-y+5=0
(d3):  x+1.5y+2=0
(d4): y=5x-7

Ces 4 droites définissent un quadrilatère.

Comme il y a qu'une équation réduite, je l'ai mis en cartésienne :

(d4):  -5y+7=0

Puis après j'ai mis les lettres et les nombres d'un côté, puis le coefficient devant y.
Donc j'ai multiplier (d2) par 3;  (d3) par 2 et (d4) par 3.
J'obtiens :
(d1):  2x+3y=15
(d2):  15x-3y= -15
(d3): 2x+3y=-4
(d4): -15x+3y=-21

En faisant (d1)-(d2)-(d3)-(d4), j'obtiens 0x et 0y pour 55

Je sais pas ou est mon erreur.
Et je ne pense pas que (d4) est parallèle à (d2) puisque ce sont les droites d'un quadrilatère.

Posté par
School
re : point d'intersection 02-03-16 à 17:07

Moi j'ai soustrais, il faut que j'additionne c'est ça ?

Posté par
mdr_non
re : point d'intersection 02-03-16 à 17:22

Non.

Il y a plusieurs problèmes dans tes analyses.

*** Comme on a un quadrilatère tu penses que des droites ne peuvent être parellèles.
Un rectangle n'est-il pas un quadrilatère ?

*** *** Il est important de savoir reconnaitre des droites parellèles.
Soit (D1) : ax + by + c = 0 et (D2) : a'x + b'y + c' = 0.
(D1) et (D2) sont parallèles si ab' = a'b.

Ici il y en a des droites parallèles, suis donc mon premier message et indique nous les droites qui sont parallèles.

Posté par
mdr_non
re : point d'intersection 02-03-16 à 17:23

parallèles

Posté par
School
re : point d'intersection 02-03-16 à 18:21

Ici, on a (d2)//(d4) et (d1)//(d3)

Posté par
mdr_non
re : point d'intersection 02-03-16 à 18:39

C'est bien.

On a deux groupes de droites qui sont parallèles (et non confondues) :
Groupe 1 : (d1) et (d3)
Groupe 2 : (d2) et (d4).

Il doit t'être bien clair maintenant que (d1) et (d3) n'ont aucun point en commun, et de même (d2) et (d4) n'ont aucun point en commun.

N'est-ce pas ?

Si tu es d'accord, on trouve au final quatre intersections possibles : lesquelles ?

Posté par
School
re : point d'intersection 02-03-16 à 19:16

Intersections :
(d1) et (d2)
(d3) et (d4) ?

Posté par
mdr_non
re : point d'intersection 02-03-16 à 20:13

Oui mais encore ?

(d1) et (d3) sont parallèles et disjointes, elles ne se croisent donc jamais (pour la même raison (d2) et (d4) ne se croisent jamais).

En revanche, (d1) et (d2) se croisent et (d1) et (d4) se croisent aussi.
De même (d3) et (d2) se croisent et (d3) et (d4) se croisent également.

Les voici les 4 intersections à chercher.

Posté par
School
re : point d'intersection 03-03-16 à 07:13

D'accord, donc je dois résoudre les système :

(d1):  2x+3y-15=0
(d2):  5x-y+5=0


(d1):  2x+3y-15=0
(d4): -5+y+7=0


(d3): x+1.5y+2=0
(d2):  5x-y+5=0

(d3): x+1.5y+2=0
(d4): -5+y+7=0

Il faut que je mette le même nombre devant y et que j'additionne c'est ça ?

(d1):  2x+3y-15=0

Posté par
kenavo27
re : point d'intersection 03-03-16 à 09:49

bonjour à tout le monde
School, fais un graphique

Posté par
mdr_non
re : point d'intersection 03-03-16 à 11:34

Citation :
Il faut que je mette le même nombre devant y et que j'additionne c'est ça ?
Pour chaque système écrit, tu les résous. Par la méthode de ton choix, ce sont des systèmes de deux équations à deux inconnues.

Et la remarque de kenavo27 te permettra de visualiser que tout ça a un sens.
Avoir toujours un graphique sous la main quand c'est possible.

Posté par
kenavo27
re : point d'intersection 03-03-16 à 18:12

Re bonjour à tous,
javascript:void(0)

point d\'intersection

Posté par
School
re : point d'intersection 03-03-16 à 19:34

D'accord merci,
J'avais fait un graphique aussi

Par exemple, pour le 1er système à résoudre
(d1) et (d2)
En multipliant (d2) par 3, pour avoir le même nbre devant y j'ai :
(d1): 2x+3y=15
(d2): 15x-3y=-15

-12x-6y=30
Est ce que j'ai bon ? svp

Posté par
School
re : point d'intersection 03-03-16 à 19:41

Je sais pas si je dois multiplier par 3 ou par -3

Posté par
mdr_non
re : point d'intersection 03-03-16 à 19:54

Citation :
En multipliant (d2) par 3, pour avoir le même nbre devant y j'ai :
(d1): 2x+3y=15
(d2): 15x-3y=-15
On n'a pas le même nombre devant y, dans la première on a 3 et dans la deuxième on a -3.

Il est facile d'y remédier, comment ?

Posté par
School
re : point d'intersection 04-03-16 à 06:19

D'accord, donc je multiplie par -3 :
(d1): 2x+3y=15
(d2):  -5x--3y=-15

donc
7x+6y= 30  ?

Posté par
School
re : point d'intersection 04-03-16 à 06:25

(d1):2x+3y=15
(d2):-15x+3y=15

donc
-17x+0y=0

donc y= 17 x

Je remplace y
(d1):2x+17x=15
18x=15
x=15/18

?

Posté par
kenavo27
re : point d'intersection 04-03-16 à 09:54

Citation :
d1):2x+3y=15
(d2):-15x+3y=15

donc
-17x+0y=0

donc y= 17 x

donc -13x=0 ou x=0
et

si l'on remplace x par 0 dans 2x+3y =15(par exemple)
on obtient

3y=15
ou
y=5

regarde le graphique, on a bien l'intersection (0;5)

Posté par
School
re : point d'intersection 04-03-16 à 19:41

D'accord merci pour beaucoup !

Pour (d1) et (d4)
J'obtiens
(d1):2x+3y-15=0
(d4):-15+3y+21=0

Donc -13x= ?
Je dois faire -15+21  ou -15-21 svp ?

Posté par
kenavo27
re : point d'intersection 04-03-16 à 23:15

d4 n'est pas y=5x-7?

Posté par
School
re : point d'intersection 05-03-16 à 06:22

Ah oui !
(d1): 2x+3y-15=0
(d4): y=5x-7

(d1): 2x+3y=15
(d4): -5x+y+7 =0  ->   -5x+y=-7

(d1) : 2x+3y=15
(d4):  -15x+3y=-21


c'est bon ça ?

Posté par
School
re : point d'intersection 05-03-16 à 07:18

Pour (d3) et (d2)

(d3) : x+1.5y+2=0
(d2): 5x-y+5=0

(d3): x+1.5y=-2
(d2): 5x-y=-5

(d3): x+1.5y=-2
(d2): -7.5x+1.5y=7.5

-6.5x= (-2-7.5) ou (-2+7.5) ?





Pour (d3) et (d4)
(d3): x+1.5+2=0
(d4): y=5x-7  ->  -5x+y+7=0

(d3): x+1.5y=-2
(d4): -5x+y=-7

(d3): x+1.5y=-2
(d4): -7.5x+1.5y=-10.5

-6.5x= (-2-10.5) ou (-2+10.5) ?

Merci

Posté par
kenavo27
re : point d'intersection 05-03-16 à 08:54

Citation :
(d3): x+1.5y+2=0
(d2):  5x-y+5=0

(d3): x+1.5y+2=0
  d2: 5x-y+5=0

(d3): x+1.5y+2=0
d2: 7.5x-1.5y+7.5=0 (cette équation est obtenue en multipliant chaque terme par 1.5 la première équation d2 (d2: 5x-y+5=0)
----------------------------------
8.5x+9.5=0
x=-9.5/8.5
sauf erreur

tu as écrit ;
Citation :
(d3): x+1.5y=-2
(d2): -7.5x+1.5y=7.5 tu remarqueras que tu ne peux riens éliminer ni les ni les y

Posté par
Introuvable
re : point d'intersection 05-03-16 à 12:30

D'accord merci,
donc je remplace x dans la première

(9.5/8)+1.5y+2=0
1.5y= (-9.5/8) -2
1.5y = -51/16
y= (-51/16)/1.5
y= -2.125

c'est bon ça pour (d3) (d2) ? svp

Posté par
Introuvable
re : point d'intersection 05-03-16 à 12:32

désolé c'est x= 9.5/8.5 donc

(9.5/8.5)+1.5y+2=0
1.5y=(-9.5/8.5)-2
1.5y=-53/17
y= (-53/17)/1.5
y= -106/51

c'est ça svp ?

Posté par
mdr_non
re : point d'intersection 05-03-16 à 13:55

School,
Tu as beaucoup de mal avec la résolution des systèmes de deux équations à deux inconnues.

La combinaison n'est pas la seule méthode, il existe également la substitution.
Pour la combaison, on n'est pas obligé de faire tous le temps 'équation 1' - 'équation 2'. On peut très bien faire 'équation 1' + 'équation 2'.
Le seul objectif est de faire disparaitre une inconnue.



*** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** ***
*** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** ***
Ton premier essai :

Citation :
Par exemple, pour le 1er système à résoudre
(d1) et (d2)
En multipliant (d2) par 3, pour avoir le même nbre devant y j'ai :
(d1): 2x+3y=15
(d2): 15x-3y=-15

-12x-6y=30
Est ce que j'ai bon ? svp

Tu n'as pas bon (c'est -13x + 6y = 30) ; mais ça ne t'avance à rien car tu avais choisi de faire disparaitre l'inconnue y mais il est toujours là.
[ En faisant (d1) - (d2) (ou (d2) - (d1)) aucune chance de faire disparaitre y. ] Etait-il difficile de voir qu'en faisant (d1) + (d2) on obtient : 17x = 0 ?

Ensuite d'ici on aurait eu sans problème x = 0/17 = 0, ce qui permet de trouver y en remplaçant dans une des équations.
Par exemple (d1) : 3y = 15 d'où y = 15/3 = 5.

*** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** ***

Ton deuxième essai :
Citation :
(d1):2x+3y=15
(d2):-15x+3y=15

donc
-17x+0y=0

donc y= 17 x
Erreur. 0 multiplié par n'importe quoi donne TOUJOURS 0.
-17x + 0y = 0 est équivalente à -17x = 0
On trouvait alors à nouveau x = 0 ce qui permet de trouver y en remplaçant dans une des équations.
Par exemple (d1) : 3y = 15 d'où y = 15/3 = 5.

L'intersection de (d1) et (d2) est le point de coordonnées (0 , 5).

*** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** ***

Comment en être sûr ?

Ici on a deux façons de vérifier :
Premère façon : On revient au système du début et on remplace pour vérifier si ça marche.

On a trouvé x = 0 et y = 5 pour solution à :
(d1) : 2x + 3y - 15=0
(d2) : 5x - y + 5=0

Si on remplace dans (d1), on a 2*0 + 3*5 - 15 = 0 + 15 - 15 = 0 donc (d1) est vérifiée.
Si on remplace dans (d2), on a 5*0 - 5 + 5 = 0 donc (d2) est vérifiée.
Donc on a bon.

Deuxième façon : On observe sur le graphique que l'intersection de (d1) et (d2) est bien le point de coordonnées (0 , 5).

*** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** ***

kenavo27 avait déjà donné la réponse.

*** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** ***
*** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** ***

On poursuit :

Citation :
Ah oui !
(d1): 2x+3y-15=0
(d4): y=5x-7

(d1): 2x+3y=15
(d4): -5x+y+7 =0  ->   -5x+y=-7

(d1) : 2x+3y=15
(d4):  -15x+3y=-21


c'est bon ça ?

Tu utilises la méthode de combinaison à nouveau. Mais tu pouvais sans problème utiliser la méthode de susbstitution.

On y = 5x - 7.

Donc si on substitue dans (d1) on obtient quoi ?
2x + 3(5x - 7) - 15 = 0

On a une équation à une inconnue et on peut trouver x.

Posté par
mdr_non
re : point d'intersection 05-03-16 à 14:11

Qu'on ait les résultats à un endroit :

L'intersection de (d1) et (d2) est le point de coordonnées (0 , 5).
L'intersection de (d1) et (d4) est le point de coordonnées (36/17 , 61/17).
L'intersection de (d3) et (d2) est le point de coordonnées (-19/17 , -10/17).
L'intersection de (d3) et (d4) est le point de coordonnées (1 , -2).

Posté par
Introuvable
re : point d'intersection 05-03-16 à 17:59

D'accord merci pour tout !
Mais pour (d1) et (d4)

On trouves bien
(d1): 2x+3y=15
(d4): -15+3y=-21

Comment vous avez trouver y=5x-7 ?

Posté par
mdr_non
re : point d'intersection 05-03-16 à 18:37

Citation :
Comment vous avez trouver y=5x-7 ?
On a pas eu à chercher ceci.

C'était déjà donné.
Citation :
(d4):y=5x-7

Posté par
School
re : point d'intersection 05-03-16 à 18:39

Donc comme y= 5x-7 on remplace y dans d3 ?

Posté par
School
re : point d'intersection 05-03-16 à 18:50

C est bon j ai réussi

Posté par
School
re : point d'intersection 05-03-16 à 18:52

Mais j ai pas compris pour d3 et d2 :/

Posté par
mdr_non
re : point d'intersection 05-03-16 à 18:54

Si tu veux. C'est la méthode de substitution.

***************************************************************
Les étapes sont :
Etape 1 :
Choisir une équation ;
ET
Exprimer une des inconnues en fonction de l'autre (dit autrement:  isoler une des inconnues).

Etape 2 :
Prendre l'équation non utilisée à l'étape précédente ;
ET
A l'intérieur de celle-ci, remplacer l'inconnue précédemment isolée par l'expression obtenue.

Etape 3 :
Résoudre l'équation à une inconnue obtenue à la fin de l'étape 2.

Etape 4 :
Utiliser l'expression obtenue à l'étape 1 pour trouver la seconde inconnue.

Etape 5 :
Vérifier que cela fonctionne.
***************************************************************

***************************************************************
***************************************************************
En étape, on veut résoudre :
(d1) : 2x + 3y- 15 = 0
(d4) : y = 5x - 7

Etape 1 :
Je choisis (d4) et je choisis d'isoler la variable y. ((d4) donnait déjà la variable y en fonction de x donc il n'y a rien à faire.)
y = 5x - 7

Etape 2 :
L'équation non utilisée est (d1), on remplace y dedans.
2x + 3(5x - 7) - 15 = 0

Etape 3 :
On résout l'équation : 2x + 3(5x - 7) - 15 = 0
2x + 15x - 21 - 15 = 0
17x = 36
x = 36/17

Etape 4 :
Comme on a trouvé x, on remplace dans l'équation de l'étape 1 pour trouver y.
y = 5*36/17 - 7 = 61/17

Donc on trouve comme solution x = 36/17 et y = 61/17

Etape 5 :
On a des doutes parfois, alors on vérifie si on ne s'est pas trompé.
On doit vérifier si 2x + 3y- 15 = 0 et si y = 5x - 7

Pour la première : 2*36/17 + 3*61/17 - 15 = (72 + 183)/17 - 15 = 15 - 15 = 0 (c'est bon c'est vérifié).
Pour la deuxième : 5*36/17 - 7 = 61/17 (c'est bon c'est vérifié).

Conlusion : on trouve que le point d'intersection de (d1) et (d4) a pour coordonnées (36/17 , 61/17).
***************************************************************
***************************************************************

Tu peux essayer de reproduire pour (d3) et (d4).

Posté par
mdr_non
re : point d'intersection 05-03-16 à 18:58

Citation :
Mais j ai pas compris pour d3 et d2 :/
Comment ça tu n'as pas compris ?

(d2) : 5x - y + 5 = 0
(d3) : x + 1.5y + 2 = 0

Essaie d'utiliser la méthode par substitution que tu viens d'apprendre. Comme ça tu t'entraineras.

Posté par
School
re : point d'intersection 05-03-16 à 18:59

Je suis a (d3) et (d2) la^^

(D3): x+1,5y+2=0
(D2): 5x-y+5=0

En multipliant d2, par 1,5:
(D2): 7,5x -1,5y +7,5=0

C est un bon début ?

Posté par
mdr_non
re : point d'intersection 05-03-16 à 19:00

Oui c'est un bon début.

Posté par
School
re : point d'intersection 05-03-16 à 19:00

Par substitution pour d3:
On peut isoler x
x= -1,5y -2 ?

Posté par
mdr_non
re : point d'intersection 05-03-16 à 19:01

Citation :
Par substitution pour d3:
On peut isoler x
x= -1,5y -2 ?
Très bien. Fais jusqu'au bout et je te corrigerai à la fin.

Fais ensuite par combinaison comme tu as commencé, et tu pourras comparer les résultats.
Je te corrigerai à la fin aussi.

Allez, je te laisse du temps, prends ton temps.

Posté par
School
re : point d'intersection 05-03-16 à 19:11

C est bon, j ai tout réussi !!!

Je dois faire quoi avec les coordonnées des 4 points maintenant svp?

Posté par
School
re : point d'intersection 05-03-16 à 19:14

J utilise la méthode des coordonnées du milieu ?

Posté par
mdr_non
re : point d'intersection 05-03-16 à 20:09

Je dois faire quoi avec les coordonnées des 4 points maintenant svp?

Tu as juste écrit qu'il fallai trouver les 4 points.

Citation :
On considère les droites d'équation
(d1) : 2x+3y-15=0
(d2): 5x-y+5=0
(d3): x+1.5y+2=0
(d4):y=5x-7

Déterminer le point d'intersection.


Tu as les 4 points donc tu as terminé l'exercice. S'il y a une suite à l'énoncé tu dois l'écrire.

Posté par
School
re : point d'intersection 05-03-16 à 20:16

Déterminer les coordonnées du point d intersection de ses diagonales

Posté par
mdr_non
re : point d'intersection 05-03-16 à 20:22

Ok, repère les points qui forment les diagonales et calcule les milieux.

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