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Point d'intersection d'une courbe.

Posté par
TheLastQuatro
07-05-19 à 07:36

Bonjour,

Soit f(x) = (x^3+x^2+12*x+76)/(x^2+12).
On me demande : Déterminer le point d'intersection avec l'axe des abscisses de la courbe C associée à f.

Où j'en suis :

f(x)=0
(x^3+x^2+12*x+76)/(x^2+12)=0
x^3+x^2+12*x+76=0

Comme vous pouvez le constater, je suis parvenu à enlever le dénominateur mais par la suite je me retouve bloqué puisque il m'est impossible de résoudre, avec mes outils, cette dernière équation...

J'ai déjà résolu l'équation graphiquement sur GeoGebra mais je ne pense que cela réponde à la question.

Je fais donc appel à vous afin que vous m'aidiez en donnant des pistes de travail.

Merci d'avance et bonne journée à tous.

Posté par
Pirho
re : Point d'intersection d'une courbe. 07-05-19 à 08:06

Bonjour,

1°) es-tu sûr de ton énoncé?

2°) d'où sort f(x)?

tu devrais nous donner ton énoncé complet

Posté par
TheLastQuatro
re : Point d'intersection d'une courbe. 07-05-19 à 10:03

Données :

f(x)=(x^3+x^2+12*x+76)/(x^2+12)

Ainsi que sa dérivée :
f'(x)=(x^4+24*x^2-128*x+144)/(x^2+12)^2

Consigne :
Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe de f avec l'axe des abscisses.

Voilà l'énoncé complet.

f(x) vient de la consigne. Une fonction définie sur IR, tout simplement.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Point d'intersection d'une courbe. 07-05-19 à 10:44

la forme exacte de la solution est très compliquée (voir formules de Cardan) mais tu peux trouver une approximation de la solution par itérations successives. (~ -3.58)

Posté par
TheLastQuatro
re : Point d'intersection d'une courbe. 07-05-19 à 11:06

Merci @Glapion pour ta réponse. J'ai trouvé graphiquement ~3,58. Cependant je ne comprends ce que tu dis par itérations successives. Pourrais-tu développer un peu plus s'il te plaît ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Point d'intersection d'une courbe. 07-05-19 à 11:09

Bonjour,

les solutions de f(x) = 0 sont les solutions de g(x) = x^3+x^2+12*x+76 = 0
comme tu l'as bien vu
pour déterminer l'existence de ces solutions, on doit étudier les variations de
g(x)

donc le signe de la dérivé de g(x)
la dérivée de f(x) ne sert absolument à rien là dedans, surtout qu'elle est plus compliquée encore que f(x) !!

pour obtenir ensuite une solution approchée en ayant déja réduit l'intervalle dans lequel on a une et une seule solution :
soit on opère par dichotomie (jeu du plus grand plus petit en divisant l'intervalle en deux de façon répétée)
soit on peut utiliser l'algorithme de Newton qui met justement en jeu la dérivée (de g(x) bien entendu)

On peut prouver facilement qu'il n'y a pas de solution rationnelle (dans ) à cette équation
en effet une solution rationnelle n/d irréductible devrait être telle que n divise 76 et d divise 1
donc ce serait obligatoirement un nombrer entier (relatif) diviseur de 76, le test est vite fait sur les 12 diviseurs de 76 dans

Posté par
TheLastQuatro
re : Point d'intersection d'une courbe. 07-05-19 à 13:56

Merci @mathafou pour la réponse.

J'aimerai avoir quelques précisions...

J'ai trouvé comme dérivée : g'(x)=3*x^2+2*x+12=0

J'ai appliqué le discriminant puisqu'il s'agit d'un polynôme de degré 2, celui si s'avère négatif donc aucune racine possible. /_\=-1/3.

Le signe de a est positif, donc la fonction g est croissante sur IR.

Or vous dîtes, je cite :  «pour obtenir ensuite une solution approchée en ayant déja réduit l'intervalle dans lequel on a une et une seule solution

Je ne comprends cette phrase surlignée en gras à vrai dire.

Puis, je souhaite utiliser l'algorithme de Newton . On utilise la fonction g, c'est bien ça ? Et donc il faut supposer une valeur qu'on peut nommer xN afin d'utiliser la formule x = xN - (g(xN))/(g'(xN))

Ainsi, la valeur de x appartient à Z ? Et on trouve la valeur de l'abscisse ?
Pour trouver y, on remplace x par la valeur trouvée ?

Merci.

Posté par
TheLastQuatro
re : Point d'intersection d'une courbe. 07-05-19 à 14:05

TheLastQuatro @ 07-05-2019 à 13:56

Merci @mathafou pour la réponse.

J'aimerai avoir quelques précisions...

J'ai trouvé comme dérivée : g'(x)=3*x^2+2*x+12=0

J'ai appliqué le discriminant puisqu'il s'agit d'un polynôme de degré 2, celui si s'avère négatif donc aucune racine possible. /_\=-1/3.

Le signe de a est positif, donc la fonction g est croissante sur IR.

Or vous dîtes, je cite :  «pour obtenir ensuite une solution approchée en ayant déja réduit l'intervalle dans lequel on a une et une seule solution

Je ne comprends cette phrase surlignée en gras à vrai dire.

Puis, je souhaite utiliser l'algorithme de Newton . On utilise la fonction g, c'est bien ça ? Et donc il faut supposer une valeur qu'on peut nommer xN afin d'utiliser la formule x = xN - (g(xN))/(g'(xN))

Ainsi, la valeur de x appartient à Z ? Et on trouve la valeur de l'abscisse ?
Pour trouver y, on remplace x par la valeur trouvée ?

Merci.


Pardonnez le multi-post, je «supprime» cette dernière remarque.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Point d'intersection d'une courbe. 07-05-19 à 14:58

x n'appartient certainement pas à Z mais à R (irrationnel comme j'en ai esquissé la preuve)

"la fonction g est croissante sur R" oui

on peut même préciser que g(x) varie de -oo (une valeur négative) à +oo (une valeur positive)
donc g(x) s'annule une fois et une seule pour x entre -oo et +oo

réduire l'intervalle veut dire juste choisir un peu moins grand comme intervalle que ]-oo; +oo[ !!!
comme g(0) est visiblement = 76 > 0
il suffit de prendre par essais (ou par lecture graphique) g(-4) = -20 <0
pour avoir un intervalle [-4; 0] avec g(-4) < 0 et g(0)>0
pour avoir "réduit" l'intervalle dans lequel on cherche la racine à [-4; 0] au lieu de ]-oo; +oo[ !!

on peut alors prendre cet intervalle comme intervalle de départ pour une recherche par dichotomie
ou bien l'une des bornes x = -4 ou x = 0 comme valeur de départ pour Newton. (ou d'ailleurs une valeur absolument quelconque considérée comme "proche" de la solution)

Citation :
Et donc il faut supposer une valeur qu'on peut nommer xN afin d'utiliser la formule x = xN - (g(xN))/(g'(xN))
bof

la méthode de Newton génère une suite de valeurs qui sont obtenues par récurrence :

xn+1 = xn - (g(xn))/(g'(xn))

en partant d'une valeur de départ x0
c'est cette valeur de départ qu'on doit choisir
on obtient alors successivement x1 à partir de ce x0, puis x2 à partir de x1 etc

les xn sont de plus en plus proche de la solution cherchée et on arrête la récurrence quand on a atteint la précision désirée. (quand les écarts entre xn+1 et xn deviennent < cette précision choisie)


l'avantage de la dichotomie est qu'elle donne explicitement un intervalle de confiance dans lequel on est certain que se situe la solution

avec Newton c'est plus compliqué, car rien ne dit que les écarts, dont on sait qu'il sont de plus en plus petits, ne vont pas se cumuler pour finir par atteindre plus que le dernier écart observé.
on ne connait donc pas vraiment à quelle précision on a obtenu le résultat.
on peut toujours aller au dela de la précision souhaitée et arrondir ensuite.

Posté par
TheLastQuatro
re : Point d'intersection d'une courbe. 08-05-19 à 11:17

Merci @mathafou et aux autres d'avoir pris le temps de m'aider. Grâce à vous j'ai réussi à comprendre !

Merci infiniment et bonne journée à tous.



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