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Points alignés dans l'espace.
Bonjour ,
ABCDEFGH est un cube. I est le centre de la face BCGF.
Le point M est tel que .
Démontrer que les points B , M et H sont alignés.
Réponse
Puisque
(En vecteurs)
Alors MH+HA+2(MB+BI)=0
MH+HA+2MB+2BI=0
Or BI=(1/2)AH
D'où MH+HA+2MB+2(1/2)AH=0
MH+HA+2MB+AH=0
MH+2MB=0
Alors MH=-2MB
Les vecteurs MH et MB sont colinéaires d'où les points B , M et H sont alignés.
Je ne sais pas pourquoi celà ne fonctionne pas avec l'autre méthode ( celle avec le repère orthonormé dans le cube:
(A,AB,AD,AE))
J'ai trouvé M(60/3 , 20/3 ,20/9)
B(1 , 0 , 0) et H(0, 1 , 1)
D'où MH(-60/13 , -17/3 , -11/9)
Et
MB(-47/13 , -20/3 , -20/9)
Le projeté orthogonal M' de M sur [AB]
Est tel que (en vecteurs) BM'=(60/13)M'A
Le projeté orthogonal M'' de M sur [AD] est tel que AM''=(20/3)M''D
Le projeté orthogonal M1 de M sur [AE] est tel que AM1=(20/9)M1E
D'où M(60/13 , 20/3 , 20/9)
Ok ,
A(0 , 0 , 0)
M(x , y , z)
I(1 , 1/2 , 1/2)
MA(x, y , z) et MI(1-x , (1/2)-y , (1/2)-z)
MA=-2MI
Donc
{x=2(1-x)
{y=2[(1/2)-y]
{z=2[(1/2)-z]
Il vient x=2/3 , y=1/3 et z=1/3
Et donc M(2/3 , 1/3 , 1/3)
On a donc:
M(2/3 , 1/3 , 1/3) ,
B(1 , 0 , 0) et
H(0, 1 , 1)
Alors MH(-2/3 , 2/3 , 2/3) et
MB( 1/3 , 2/3 , 2/3)
-2/3= -2×(1/3)
Alors MH=-2MB
D'où les points B , M et H sont alignés.
Merci
J'ajoute que la relation donnait à peu près directement donc les coordonnées de
connaissant celles de
En fait, chaque fois qu'on peut, toujours privilégier les relations vectorielles, ce qu'on t'a déjà dit , d'une autre façon, je crois. 
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