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Points équidis. de deux droites //

Posté par Stigmate (invité) 12-06-06 à 23:13

Bonjour a tous,

J'ai encore un petit problème; je ne parviens pas a la meme reponse que le livre de repons.

Donnée:

On donne les points A( 10 ; 8 ; -8 ) , B( 9 ; 4 ; -7 ) , C( 0 ; 4 ; 2 ) et D( 4 ; -8 ; -6 ).
Soit g la droite (AB) et p la parallele à (AB) passant par C. Déterminer les coordonnées du point M le plus proche de D et equidistant des deux droites g et p.

Ce que j'ai fait:

1) J'ai essayer de trouver la droite (je le nomme n ) // a (AB) qui contient les pts equidistant des deux droites g et p:

(AB) =
9-10 = -1
4-8 = -4
-7+8 = 1

un point equidistant de p et g:
(milieu du segment A et C)
(10+0)/2 = 5
(8+4)/2 = 6
(-8+2)/2 = -3

Alors la droite cherchée n est:

x= 5 - k
y= 6 - 4k
z=-3 + k

2) distance la plus courte entre D et cette droite:
Faire un plan perpandiculaire a n passant par D

-x - 4y + z = -d

d = -22

alors:
-x - 4y + z - 22= 0

-(5-k)-4(6-4k)+(-3+k)-22=0

-5+k-24+16k-3+k-22=0
18k=54

k=3

On remplace ce k dans la droite n et on obtient:
X=5-3 = 2
Y=6-12=-6
Z=-3+3= 0

M(2;-6;0)

(enfin fini, c'est long a faire sur l'ordi)


Par contre dans les reponses ils disent que M (0;-6;-2)

Est-ce quelqu'un pourrait me preciser ce que je fais de faux, merci beaucoup d'avance.

Posté par
Nofutur2
re : Points équidis. de deux droites // 13-06-06 à 08:33

J'ai refait tes calculs et je trouve tes résultats corrects...
A moins que tu aies mal recopié l'énoncé ..
En tout cas, tu as très bien résolu ce problème  pas simple..

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Points équidis. de deux droites // 13-06-06 à 10:45

vecteur directeur de g: u = (1 ; 4 ; -1)

Eq de la droite équidistante de p et g
Elle est // à g et passe par le point milieu de [AC], soit par le point (5 ; 6 ; -3)

x-5 = k
y-6 = 4k
z+3 = -k
-----

x = k + 5
y = 4k + 6
z = -k - 3

Un point N de cette droite a pour coordonnées (k+5 ; 4k+6 ; -k-3)

DN² = (k+5-4)² + (4k+6+8)² + (-k-3+6)²
DN² = (k+1)² + (4k+14)² + (-k+3)²
DN² = k²+2k+1 + 16k²+112k+196 + k²-6k+9
DN² = 18k²+108k+206

DN est minimum en même temps que DN²
--> recherche de la valeur de k qui rend DN² minimum

f(k) = 18k²+108k+206
f '(k) = 36k + 108
f '(k) = 0 pour k = -108/36 = -3

M est le point N lorsque k = -3 -->

M(2 ; -6 ; 0)
-----
Sauf distraction.  

Posté par Stigmate (invité)re : Points équidis. de deux droites // 13-06-06 à 16:53

Merci beaucoup pour tous vos reponses,

Ma faute est que les pts équidistant de 2 droites n'est pas une droite mais un plan =).



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