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Points remarquables du triangle ( barycentre )

Posté par behe (invité) 03-11-06 à 14:15

Bonjour à tous et à toutes, je demande votre aide aujourd'hui pour un problème concernant les barycentres et orthocentres.

Voici l'énoncé :

On considère un triangle ABC et O le centre de son cercle circonscrit.
Le point H est l'unique point du plan qui vérifie : OH = OA+OB+OC  ( OH, OA, OB et OC étant des vecteurs. )

Voici maintenant les questions :
1°) Montrer que H est l'orthocentre du triangle ABC.
2°) G désigne le centre de gravité de ABC. Les pointes O,G et H sont-ils alignés ?

Je sais que :
- L'orthocentre H est le point de concours des trois hauteurs et a pour propriété : AK x BC = BL x AC = CJ x AB ( K étant le point de la hauteur de A, J de C et L de B )
- Le centre de gravité G est le point de concours des trois médianes et a pour propriété AG = 2/3AA' ( AG et AA' étant des vecteurs.)

Merci d'essayer de me montrer la voix à suivre s'il vous plait car pour tout vous dire je suis perdu

Behe

Posté par
littleguy
re : Points remarquables du triangle ( barycentre ) 03-11-06 à 14:27

Bonjour

Par exemple :

\tex \vec{OH} = \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}

donc \tex \vec{OH}-\vec{OA} = \vec{OB}+\vec{OC}

et avec l'aide de Chasles et en appelant A' le milieu de [BC] on obtient :

\tex \vec{AH} = 2\vec{OA'}

ce qui prouve que \tex \vec{AH} et \tex \vec{OA'} sont colinéaires, donc que (AH) est la hauteur issue de A.

Idem pour les autres.

\tex \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC} = \vec{O}

Chasles donne \tex 3\vec{GO}+\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC} = \vec{O}

et c'est quasiment fini.

Posté par behe (invité)re : Points remarquables du triangle ( barycentre ) 03-11-06 à 15:38

Merci beaucoup cela m'a beaucoup éclairé

Behe

Posté par behe (invité)re : Points remarquables du triangle ( barycentre ) 03-11-06 à 15:44

Dernière question ( désolé pour le double post )  :

Comment passes-tu de OB + OC à 2OA' s'il te plait ?

merci d'avance ^^

Posté par behe (invité)re : Points remarquables du triangle ( barycentre ) 03-11-06 à 16:03

laissez tomber cette question idiote je viens de comprendre, par contre le "quasiment finit" me gène, je n'arrive pas à conclure le tout

merci ^^

Posté par
littleguy
re : Points remarquables du triangle ( barycentre ) 03-11-06 à 20:35

\vec{3OG}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}

donne \vec3{0G}=\vec{OH}

colinéarité de vecteurs, points alignés, c'est du cours...

Posté par
littleguy
re : Points remarquables du triangle ( barycentre ) 03-11-06 à 20:37

Je rectifie l'écriture :

3\vec{OG}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}

donne 3\vec{OG}=\vec{OH}



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