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Polynôme du troisième degrés en Python

Posté par
Louane2005
26-04-22 à 11:49

Bonjour,
Je dois traduire un exercice en Python et j'ai un peu de mal...
Voici l'énoncé ainsi que je les réponses que j'ai trouvé :
Soit P le polynôme défini par :
P(x)=6x^3-23x^2-32x-15
1) Montrer que 5 est une racine de P
—> Une racine d'un polynôme f est une valeur tel que f(x)=0
P(5)=6*5^3-23*5^2-32*5-15
P(5)=0
Donc 5 est une racine du polynôme
2)Trouver un polynôme Q tq pour tout réel x : P(x)=(x-5)Q(x)
—> P(x)=(x-5)Q(x) avec Q(x) un polynôme du second degrés soit de la forme ax^2+bx+c
Donc P(x)=(x-5)(ax^2+bx+c)
P(x)= ax^3+(b-5a)x^2+(c-5b)x-5c
Par identification et unicité des coefficients il vient :
a=6
b=7
c=3
Donc Q(x)=6x^2+7x+3
3)Peut-on factoriser le polynôme Q ?
—> On calcul le discriminant de Q afin de trouver d'éventuelles racines
Delta=-23
Comme delta<0; il n'existe pas de solutions réelles
On ne peut donc pas factoriser le polynôme

Pour ce qui est de Python, je sais uniquement faire un algorithme pour trouver si il a des racines, combien, et calculer leur valeur.
Pourriez-vous m'aider s'il-vous-plaît ?

Polynôme du troisième degrés en Python

Posté par
Leile
re : Polynôme du troisième degrés en Python 26-04-22 à 11:58

bonjour,

"traduire"  en python :  que dit ton énoncé exactement ?

Posté par
Louane2005
re : Polynôme du troisième degrés en Python 26-04-22 à 12:01

Je dois créer un algorithme qui permet de résoudre les questions

Posté par
Leile
re : Polynôme du troisième degrés en Python 26-04-22 à 12:07

ce que je voulais, c'est avoir ton énoncé exact.

l'algorithme pour répondre à la question 1 par exemple est simple...
mais je n'en vois pas l'interet..
et pour la question 2, c'est pas simple du tout..
Précise ton énoncé, stp.

Posté par
Leile
re : Polynôme du troisième degrés en Python 26-04-22 à 12:11

peux  tu utiliser la fonction  numpy ?

Posté par
Louane2005
re : Polynôme du troisième degrés en Python 26-04-22 à 12:12

Pour ce qui est de l'énoncé de l'exercice, je l'ai recopié à l'identique dans mon premier post, et pour ce qui est de la consigne pour l'exposé, c'était de choisir un exercice que l'on avait corrigé dans l'année et de le résoudre en Python

Posté par
Louane2005
re : Polynôme du troisième degrés en Python 26-04-22 à 12:14

Je ne pense pas (en tout cas on ne l'a jamais vu)

Posté par
Leile
re : Polynôme du troisième degrés en Python 26-04-22 à 12:19

ah d'accord !   "traduire"  en python n'était pas dans l'énoncé !

Ca me semblait bizarre aussi qu'on t'ait demandé ça..

Question 1 :
tu peux écrire un petit programme qui dit si une valeur est racine ou non d'un polynôme.
en entrée : les coefficients du polynome
puis tu demandes la valeur à tester  
tu fais le calcul,
et tu dis oui ou non.

tu peux compléter en demandant le degré du polynôme dès le départ, et demander autant de coefficients que nécessaire.
(par exemple pour un polynôme de degré 2, tu demandes 3 coefficients).

pour la question 2 : python le fait avec une fonction NumPy  que tu n'as pas vue. C'est plus raisonnable de laisser tomber cette question.

pour la 3 : tu peux compléter ton algo avec l'affichage de la forme factorisée quand on a deux racines.

Posté par
Leile
re : Polynôme du troisième degrés en Python 26-04-22 à 12:26

je dois m'absenter, je reviens voir tes réponses tout à l'heure.

Posté par
Louane2005
re : Polynôme du troisième degrés en Python 26-04-22 à 12:30

Merci ! Mais si  je ne peux pas résoudre la question 2 je pense que je vais changer d'exercice...

Posté par
Leile
re : Polynôme du troisième degrés en Python 26-04-22 à 13:30

D'accord.
n'hésite pas à poster à nouveau ! Bonne journée.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Polynôme du troisième degrés en Python 26-04-22 à 14:26

Bonjour,

ce n'est pas parce que NumPy donne une fonction toute faite pour la question 2 qu'on ne peut pas le faire en en écrivant une soi-même

pour cela il "suffit" de faire cette question 2 en littéral.
et de traduire en Python "mot à mot" ce que l'on fait

donc donnée d'entrée les coefficients a,b,c,d du polynome
et la valeur de la racine connue x0
on identifie en littéral P(x) = ax3 + bx2 + cx+d à
(x-x0)(ax2 + px + q)
et on résout (en littéral) le système (de 4 équations, une par coefficient de P(x)) obtenu en les inconnues p et q

inutile d'avoir une troisième inconnue vu que le coefficient de x3 donne a = a , équation satisfaite "par construction"
q est immédiat et reste p = une équation du premier degré
la dernière équation du système est alors vérifiée si et seulement si x0 est effectivement une racine du polynome

ceci dit, vu que le problème est "ouvert" on peut tout à fait préférer traduire un exo plus simple ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Polynôme du troisième degrés en Python 27-04-22 à 09:48

Nota :
si dans le développement et identification de
P(x) = ax3+bx2 + cx+d = (x-x0)(ax2 + px + q) + R
(R = 0 si et seulement si x0 est racine de P(x))

on ne développe pas outrancièrement les équations du système mais que au contraire on cherche à factoriser au maximum ces équations, on obtient des formules qui forment ... la méthode de Horner permettant de faire en un seul programme de quelques lignes à la fois la question 1 et la question 2 ...
(sans aucun besoin de quelque bibliothèque additionnelle du genre NumPy ou autre que ce soit)

a = a
p = ax0 + b
q = (ax0 + b)x0 + c = px0 + c
R = ((ax0 + b)x0 + c)x0 + d = qx0 + d = P(x(0))

que l'on peut généraliser à un polynôme P de degré quelconque.



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