Bonjour à tous.
Plusieurs topics font part de la manipulation de suites de nombres.  Je vous en envoie une des plus intéressantes...

Le flocon de Von Koch (1902).

La construction d'une telle forme repose sur le principe suivant :
- on part d'un triangle équilatéral de côté a, que l'on appelle "flocon d'ordre 0";
- on divise chaque côté en trois segments de même longueur et on remplace celui du milieu par un triangle équilatéral privé de sa base et dirigé vers l'extérieur;  on obtient alors un "flocon d'ordre 1";
- on construit de manière analogue un flocon d'ordre 2 à partir d'un flocon d'ordre 1 : on divise chaque côté du flocon d'ordre 1 en trois segments de même longueur et on remplace celui du milieu par un triangle équilatéral privé de sa base, dirigé vers l'extérieur, et ainsi de suite…

Voir ci-joint un dessin représentant les trois flocons de Von Koch d'ordre 0, 1 et 2.

1°) Cinq suites.
Pour le flocon d'ordre n, on note c_n le nombre de ses côtés, r_n la longueur de chaque côté du petit triangle que l'on construit, P_n le périmètre du flocon, T_n l'aire du petit triangle que l'on construit et A_n l'aire du flocon entier.

a) Que vaut c₀, r₀, P₀, T₀ et A₀? Calculer c₁, r₁, P₁, T₁ et A₁, ainsi que c₂, r₂, P₂, T₂ et A₂.
b) Donner les termes généraux c_n, r_n, P_n, T_n et A_n.
c) Montrer que (c_n) est une suite géométrique de raison 4 et de premier terme 3.
d) Quelle est la nature de la suite (r_n)?
e) Montrer que (P_n) est une suite géométrique de raison et de premier terme 3a.
f) Quelle est la nature de la suite (T_n)?
g) Montrer que pour tout naturel n, A_n+1=A_n+c_n.T_n+1.
h) Calculer ce que vaut A_n+1.
i) Quelle est la nature de la suite (A_n)?

2°) Une suite de surfaces d'aires bornées et de périmètres non bornés.

a) Expliquer pourquoi : .
b) Démontrer que n^* :
INDICATION : Calculer A₁-A₀, puis A₂-A₁, …, A_n-A_n-1 et ensuite ajouter membre à membre ces n égalités.
c) En déduire que .