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Posté par
ma_cor
03-01-05 à 12:43

Bonjour à tous.
Plusieurs topics font part de la manipulation de suites de nombres.  Je vous en envoie une des plus intéressantes...

Le flocon de Von Koch (1902).

La construction d'une telle forme repose sur le principe suivant :
- on part d'un triangle équilatéral de côté a, que l'on appelle "flocon d'ordre 0";
- on divise chaque côté en trois segments de même longueur et on remplace celui du milieu par un triangle équilatéral privé de sa base et dirigé vers l'extérieur;  on obtient alors un "flocon d'ordre 1";
- on construit de manière analogue un flocon d'ordre 2 à partir d'un flocon d'ordre 1 : on divise chaque côté du flocon d'ordre 1 en trois segments de même longueur et on remplace celui du milieu par un triangle équilatéral privé de sa base, dirigé vers l'extérieur, et ainsi de suite…

Voir ci-joint un dessin représentant les trois flocons de Von Koch d'ordre 0, 1 et 2.

1°) Cinq suites.
Pour le flocon d'ordre n, on note cn le nombre de ses côtés, rn la longueur de chaque côté du petit triangle que l'on construit, Pn le périmètre du flocon, Tn l'aire du petit triangle que l'on construit et An l'aire du flocon entier.

a) Que vaut c0, r0, P0, T0 et A0? Calculer c1, r1, P1, T1 et A1, ainsi que c2, r2, P2, T2 et A2.
b) Donner les termes généraux cn, rn, Pn, Tn et An.
c) Montrer que (cn) est une suite géométrique de raison 4 et de premier terme 3.
d) Quelle est la nature de la suite (rn)?
e) Montrer que (Pn) est une suite géométrique de raison \frac{4}{3} et de premier terme 3a.
f) Quelle est la nature de la suite (Tn)?
g) Montrer que pour tout naturel n, An+1=An+cn.Tn+1.
h) Calculer ce que vaut An+1.
i) Quelle est la nature de la suite (An)?

2°) Une suite de surfaces d'aires bornées et de périmètres non bornés.

a) Expliquer pourquoi : \lim_{n\to\infty}P_n=+\infty.
b) Démontrer que n* : A_n-A_0=\frac{\sqrt{3}}{12^}a^2\frac{1-(\frac{4}{9})^n}{1-\frac{4}{9}}
INDICATION : Calculer A1-A0, puis A2-A1, …, An-An-1 et ensuite ajouter membre à membre ces n égalités.
c) En déduire que \lim_{n\to\infty}A_n=\frac{2\sqrt{3}}{5}a^2.


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