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Préparation DS Exercice 3

Posté par
pichnibule 15-10-16 à 22:17

Exercice 3:
Les deux question sont indépendantes. Pour chacune d'entre-elles, une affirmation est proposée. Indiquer, en justifiant rigoureusement, si elle est vraie ou fausse.
1. On donne P(A)=0,2, PA(B)=0,68 et P1-P(A)(1-P(B)=0,4
Affirmation: PB(A)=0,32
2. On considère une urne contenant n boules rouges et trois boules noires, n étant un entier naturel non nul. Les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard deux boules de l'urne.
Affirmation 2: Il existe une valeur de n pour laquelle la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à 9/22.

Posté par
pichnibulere : Préparation DS Exercice 3 15-10-16 à 22:18

1. PB(A)= P(BA)/P(B)   1-P(A)=0,8  P(AB)=0,68 x 0,2=0,136    P(1-P(A)1-P(B)=0,4 x 0,8=0,32
Je n'arrive pas à trouver PB(A).

2. Faux, car \frac{n}{n+3} \times \frac{n-1}{n+1} + \frac{3}{n+3} \times \frac{n}{n+2} \frac{9}{22}.

Posté par
pichnibulere : Préparation DS Exercice 3 15-10-16 à 22:20

1. PB(A)= P(BA)/P(B)   1-P(A)=0,8  P(AB)=0,68 x 0,2=0,136    P(1-P(A)1-P(B)=0,4 x 0,8=0,32
Je n'arrive pas à trouver PB(A).

2. Faux, car \frac{n}{n+3} \times \frac{n-1}{n+1} + \frac{3}{n+3} \times \frac{n}{n+2} \neq \frac{9}{22}.

Posté par
fenamat84re : Préparation DS Exercice 3 15-10-16 à 23:56

Bonjour,

1) On te donne : P(A)=0.2 ; P_A(B)=0.68 et P_{\bar{A}}(\bar{B})=0.4.

D'une part :  P_A(B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=0.68, donc P(A \cap B)=P(A)*P_A(B)=0.2*0.68=0.136.


D'autre part :  P_{\bar{A}}(\bar{B})=\frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{A})}=0.4, donc {P(\bar{A} \cap \bar{B})=P(\bar{A})*P_{\bar{A}}(\bar{B})=0.8*0.4=0.32.

Or \bar{A} \cap \bar{B}=\bar{A \cup B}, ainsi : {P(\bar{A} \cap \bar{B})=P(\bar{A \cup B})=0.32

D'où P(A \cup B)=1-P(\bar{A \cup B})=1-0.32=0.68.

Or P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B), on en déduit alors que :

P(B)=P(A \cup B)+P(A \cap B)-P(A)=0.68+0.136-0.2=0.616.

Ainsi on en déduit : P_B(A)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{0.136}{0.616}=\frac{17}{77} \approx 0.22

et l'affirmation est donc fausse.

2) Tu n'as nullement prouvé ton affirmation ici !!

L'urne contient n+3 boules. Sachant qu'on tire simultanément 2 boules, on est dans un cas de tirage sans remise.
La probabilité de tirer 2 boules de même couleur est alors de :

P(RR)+P(NN)=\frac{n}{n+3}*\frac{n-1}{n+2}+\frac{3}{n+3}*\frac{2}{n+2}=\frac{n²-n+6}{(n+2)(n+3)}.

Donc la probabilité de tirer 2 boules de couleurs différentes est de :

1-\frac{n²-n+6}{(n+2)(n+3)}=\frac{(n+2)(n+3)-(n²-n+6)}{(n+2)(n+3)}=\frac{n²+5n+6-(n²-n+6)}{(n+2)(n+3)}=\frac{6n}{(n+2)(n+3)}.

On cherche alors un entier naturel n tel que :
\frac{6n}{(n+2)(n+3)}=\frac{9}{22}.

En résolvant cette équation, tu auras ta réponse...

Posté par
pichnibulere : Préparation DS Exercice 3 16-10-16 à 10:13

Merci beaucoup !

Posté par
fenamat84re : Préparation DS Exercice 3 16-10-16 à 10:40

Et saches aussi que la 2e affirmation n'est pas fausse mais vraie !!

Mais c'est à toi de le démontrer en résolvant l'équation que je viens de te donner plus haut...

Posté par
pichnibulere : Préparation DS Exercice 3 16-10-16 à 10:40

En résolvant cette équation on ne trouve pas d'entier naturel, mais environ 0,667. est-ce juste ?

Posté par
fenamat84re : Préparation DS Exercice 3 16-10-16 à 10:52

Ah bon, si tu as bien fait tes calculs, tu devrais tomber sur une équation du second degré à résoudre...

En résolvant cette équation, tu devrais tomber sur 2 solutions... dont une qui est un entier naturel...

PS : la réponse que tu me donnes (2/3) est d'ailleurs une des solutions de cette équation... mais il te reste à trouver l'autre solution.


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