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Preuve de deux limites fondamentales de fonctions trigo...

Posté par
AtomeKid 24-11-13 à 02:27

Soit \alpha vérifiant 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.
On considère les points A(1;0),M(\cos\alpha;\sin \alpha) (appartenant au cercle trigonométrique, celui-ci de centre O) et T(1;\tan\alpha).
(J'espère que vous savez que O,M,T sont alignés.)
On voit en comparant les aires de surfaces faciles à visualiser, que
Aire(triangleOAM)<Aire(secteur de disqueOAM)<Aire(triangleOAT)
----------
1. Ecrire en fonction de \alpha cet encadrement ; en déduire
1<\frac{\alpha}{\sin\alpha}<\frac{1}{\cos\alpha}
2. Que se passe-t-il si l'on prend \alpha dans ]-\frac{\pi}{2};0[ à présent ?
3. En déduire que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1
4. On rappelle la formule (très utile !) 1-\cos x=\sin^2\frac{x}{2}.
Déduire de la formule trouvée en 3. la limite suivante :
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Preuve de deux limites fondamentales de fonctions trigo... 24-11-13 à 07:25

Bonjour,
Il y a une petite astuce qui permet de démontrer \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} sans utiliser sin2(x/2).

(1-cosx)/x2 = (1-cosx)(1+cosx)/(x2(1+cosx)) = (1-cos2x)/(x2(1+cosx)) = sin2x/(x2(1+cosx)) = ((sinx)/x)2(1/(1+cosx))

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Preuve de deux limites fondamentales de fonctions trigo... 24-11-13 à 07:30

PS Pourquoi tous ces exercices niveau lycée alors que vous n'y êtes plus ? Pourquoi jamais un bonjour, jamais une précision sur l'aide dont vous avez besoin ?

Posté par
AtomeKidAide 24-11-13 à 17:34

Mais je croyais que c'était transparent. Tous ces exercices niveau lycée sont destinés à aider les lycéens qui veulent s'y atteler et raisonner un peu. Je suis un vieux prof à la retraite, mon seul désir est de continuer à les aider.

Posté par
AtomeKidSuite et fin de l'astuce que vous avez suggérée 24-11-13 à 17:38

\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^2 x}{x^2(1+\cos x)}
=\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{x^2}\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+\cos x}
=1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Preuve de deux limites fondamentales de fonctions trigo... 24-11-13 à 19:56

Bonsoir,
Ce n'est pas transparent du tout
Je pense qu'il faudrait annoncer la couleur quand vous posez vos exercices.


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