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Primitive

Posté par
Jauneor 31-08-23 à 00:58

Démontrer que la fonction f(x)=x²√(x-1) admet sur ]1;+infini[ une primitive de la forme F(x)=P(x)√(x-1)  où P est un polynôme de degré 3 que l'on précisera. Bonsoir à tous svp j'ai fait les exercices de primitive ms ce t'exercise là hmm, donc aider moi svp merci à tous

Posté par
Pirhore : Primitive 31-08-23 à 07:48

Bonjour,

commence par poser \large u=\sqrt{x-1}

Posté par
sanantonio312re : Primitive 31-08-23 à 08:41

Bonjour,
Ou bien calcule la dérivée de F(x) et essaie d'en déduire les coefficients du polynôme P(x)

Posté par
Pirhore : Primitive 31-08-23 à 09:21

salut @sanantonio312

c'est pas c... non plus mais çà me paraît plus long

c'est peut-être ce qui est attendu par le prof!

Posté par
carpediemre : Primitive 31-08-23 à 09:50

salut

oui en première je pense que c'est la proposition de sanantonio312 qui est attendue car le changement de variable est "inconnu" ...

et je vous laisse et vais dériver sur d'autre rivage ...

Posté par
Pirhore : Primitive 31-08-23 à 11:32

carpediem @ 31-08-2023 à 09:50

salut

oui en première je pense que c'est la proposition de sanantonio312 qui est attendue car le changement de variable est "inconnu" ...


carpediem merci; j'essayerai de ne pas oublier!!

Posté par
sanantonio312re : Primitive 31-08-23 à 11:43

Citation :
c'est pas c... non plus mais çà me paraît plus long
Je confirme! C'est long et fastidieux.
Source potentielle d'erreurs de calcul

Posté par
Jauneorre : Primitive 31-08-23 à 20:35

Donc vous supposer de faire quoi

Posté par
Pirhore : Primitive 31-08-23 à 21:33

suis le conseil de sanantonio312

Posté par
sanantonio312re : Primitive 01-09-23 à 09:12

Un indice:
P(x) est un polynôme de degré 3, tu peux donc écrire qu'il est de la forme: P(x)=ax³+.....

Posté par
Jauneorre : Primitive 01-09-23 à 13:02

Voilà merci sanantonio312

Posté par
Jauneorre : Primitive 01-09-23 à 13:06

Donc si P(x) est de la forme P(x)=ax³+bx²+cx+d Alors F(x)=(ax³+bx²+cx+d)√(x-1) epuit je dérive sa

Posté par
Jauneorre : Primitive 01-09-23 à 14:00

F'(x)=(3ax²+2bx+C)√(x-1)+(ax³+bx²+cx+d)/2√(x-1)
F'(x)=(2(3ax²+2bx+C)(x-1)+ax³+bx²+cx+D )/2√(x-1)
F'(x)=( 7ax³+(5b-6a)x²+(3c-4b)x+d-2c )/2√(x-1)
Ainsi par identification on a, a=0, b=1/5, C=4/15 et D=8/15

Posté par
lakere : Primitive 01-09-23 à 15:33

Bonjour,

Citation :
F'(x)=( 7ax³+(5b-6a)x²+(3c-4b)x+d-2c )/2√(x-1)


Oui mais tu t'es trompé ensuite dans l'identification:

  7ax^3+(5b-6a)x}^2+(3c-4b)x+d-2c=2x^3-2x^2

Posté par
Jauneorre : Primitive 01-09-23 à 20:52

Ok d'accord,  donc par identification maintenant on a
a=2/7; b=-2/35;C=8/105 et D=16/105

Posté par
lakere : Primitive 01-09-23 à 21:04

Presque; il manque des signes"-" :
En résumé, une primitive de la fonction f:\,x\mapsto x^{2}\sqrt{x-1} sur l'intervalle ]1,+\infty[ est la fonction F définie par :

F(x)=\left(\dfrac{2}{7}x^3-\dfrac{2}{35}x^2{\red -}\dfrac{8}{105}x{\red -}\dfrac{16}{105}\right)\sqrt{x-1}

Posté par
Jauneorre : Primitive 02-09-23 à 01:05

Oui oui c'était une erreur de ma part merci beaucoup pour ton aide

Posté par
lakere : Primitive 05-09-23 à 14:29

Bonjour,

Une remarque très tardive :
On a trouvé une primitive de f sur l'intervalle ]1,+\infty[ où on a exclu 1 par "prudence".
Mais F peut aussi s'écrire :

F(x)=\dfrac{2}{105}(15x^2+12x+8)(x-1)\sqrt{x-1}
Un calcul de taux de variation à droite de 1 permet de montrer que F est dérivable en 1^+et que F'(1)=0
Finalement F est une primitive de f sur [1,+\infty[ où 1 est inclus.

Posté par
carpediemre : Primitive 05-09-23 à 14:56

on pouvait aussi le retrouver en suivant l'indication de Pirho (et un peu de connaissance) en remarquant que :

f(x) = x^2 \sqrt {x - 1} = (x - 1 + 1)^2 \sqrt {x - 1} = (x - 1)^{5/2} + 2(x - 1)^{3/2} + (x - 1)^{1/2}

qu'on peut intégrer terme à terme pour donner :

F(x) = \dfrac 2 7 (x - 1)^{7/2} + \dfrac 4 5 (x - 1)^{5/2} + \dfrac 2 3 (x - 1)^{3/2}  (+ k)   avec k constante réelle

et qui montre bien qu'on peut factoriser par (x - 1) \sqrt {x - 1} et la dérivabilité de f en 1

Posté par
lakere : Primitive 05-09-23 à 15:10

... et pour le coup, sans "changement de variable", ce calcul est beaucoup moins pénible que celui proposé par l'énoncé.

Posté par
carpediemre : Primitive 05-09-23 à 16:15

disons que je fais un changement de variable sans faire un changement de variable tout en faisant un changement de variable !!

je ne l'écris pas explicitement comme le fait Pirho mais je reconnais tout de même la forme générique u^n

et ce qui simplifie considérablement les calculs c'est que le facteur différentiel dx est 1 et multiplier par 1 y a rien de plus cool !!


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