Démontrer que la fonction f(x)=x²√(x-1) admet sur ]1;+infini[ une primitive de la forme F(x)=P(x)√(x-1) où P est un polynôme de degré 3 que l'on précisera. Bonsoir à tous svp j'ai fait les exercices de primitive ms ce t'exercise là hmm, donc aider moi svp merci à tous
Bonjour,
Ou bien calcule la dérivée de F(x) et essaie d'en déduire les coefficients du polynôme P(x)
salut @sanantonio312
c'est pas c... non plus mais çà me paraît plus long
c'est peut-être ce qui est attendu par le prof!
salut
oui en première je pense que c'est la proposition de sanantonio312 qui est attendue car le changement de variable est "inconnu" ...
et je vous laisse et vais dériver sur d'autre rivage ...
Un indice:
P(x) est un polynôme de degré 3, tu peux donc écrire qu'il est de la forme: P(x)=ax³+.....
F'(x)=(3ax²+2bx+C)√(x-1)+(ax³+bx²+cx+d)/2√(x-1)
F'(x)=(2(3ax²+2bx+C)(x-1)+ax³+bx²+cx+D )/2√(x-1)
F'(x)=( 7ax³+(5b-6a)x²+(3c-4b)x+d-2c )/2√(x-1)
Ainsi par identification on a, a=0, b=1/5, C=4/15 et D=8/15
Bonjour,
Presque; il manque des signes"-" :
En résumé, une primitive de la fonction sur l'intervalle
est la fonction
définie par :
Bonjour,
Une remarque très tardive :
On a trouvé une primitive de sur l'intervalle
où on a exclu 1 par "prudence".
Mais peut aussi s'écrire :
Un calcul de taux de variation à droite de permet de montrer que
est dérivable en
et que
Finalement est une primitive de
sur
où
est inclus.
on pouvait aussi le retrouver en suivant l'indication de Pirho (et un peu de connaissance) en remarquant que :
qu'on peut intégrer terme à terme pour donner :
avec k constante réelle
et qui montre bien qu'on peut factoriser par et la dérivabilité de f en 1
... et pour le coup, sans "changement de variable", ce calcul est beaucoup moins pénible que celui proposé par l'énoncé.
disons que je fais un changement de variable sans faire un changement de variable tout en faisant un changement de variable !!
je ne l'écris pas explicitement comme le fait Pirho mais je reconnais tout de même la forme générique
et ce qui simplifie considérablement les calculs c'est que le facteur différentiel dx est 1 et multiplier par 1 y a rien de plus cool !!
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