Bonjour marie,

1/A₁=1/2 et R₁=3/6=1/2 (car il y a 3 faces rouges et 3 faces blanches)
2/On a n supérieur a 1, Rn=(Rn An)
( Rn An barre)
P(Rn sachant An)=1/2
P(Rn sachant An barre)=4/6=2/3 (car An barre est la fait d'avoir
lancé le dé B)

P(Rn An)=P(Rn sachant An)*P(An)=1/2*an
P(Rn An barre)=P(Rn sachant An barre)*P(An barre)
=2/3*(1-an)
Or P(Rn)=P(Rn An)+P(Rn Anbarre)

Donc rn=1/2 an + 2/3*(1-an)=(1/2-2/3)an+2/3
donc rn = -1/6 an + 2/3

@+

merci beaucoup!!!  

J'aurais encore besoin daide SVP

Je dois montrer que pour tout n 1, A(n+1)=(An
Rn) (An barre Rn barre)

En déduire que a(n+1)=(1/6)an+(1/3)
puis l'expression de an en fonction de n
        l'expression de rn en fonction de n

Merci d'avance

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider SVP?
Merci d'avance

Attention, je suis loin d'être un expert en maths mais pour
le 1) je suis pas d'accord. Il se peut que je me trompe et si
c le cas dites le moi SVP.
Mais si g bien lu l'énoncé, on a autant de chance de prendre le dé
A (qui a bien 3 faces ROUGES et 3 faces BLANCHES) que de prendre
le dé B (qui lui a 4 faces ROUGES pour 2 faces BLANCHES).

Donc, selon moi, on a un total de 12 faces (avec les deux dés), dont 7
sont rouges (3 sur A + 4 sur B) et 5 sont blanches (3 sur A + 2 sur
B).
  ==> Les chances d'obtenir une face ROUGE au premier lancer
seraient donc plutôt (toujours selon moi   ) de :  

                                           7/12

Ce serait sympas que quelqu'un qui s'y connaisse vienne confirmer
ou réfuter mon raisonnement pour Marie.

  PS: Je suis en première et je n'ai pas encore commencé le chapitre
des probas (enfin pas en classe avec le prof quoi) donc veuillez
me pardonnez si c faux .  Vous comprenez sns doute mieux les "selon
moi excessif"  .

À plus.

Tu m'a mis le doute mais je crois qu'on considère  le dé
A car ils nous demandent de déterminer a1: on utilise le dé A au premier
lancé.

Oui si l'on ne considère que le dé A il est clair que l'on
a :
              3 chances sur 6,  soit  1 chances sur 2

Donc dans ce cas où l'on ne considère que le dé on aurait bien :
              P(R₁)=r1=1/2


Mais si l'énoncé de ton problème est exactement le même que celui
que tu as posté, j'ai peu être raison.
Peut être qu'ils te demandent justement de calculer la probabilité
de lancer le dé A en 1er, pour te montrer que tu n'as qu'1
chance sur 2 lors de ton premier lancer de jeter le dé A et qu'il
faut également que tu prennes le dé B en compte.

Une autre manière de retrouver mon résultat pour P(R₁) (ou
r1, c'est pareil ):


Tu as 1 chance sur 2 de tomber sur le dé A (3 faces ROUGES, 3 faces
BLANCHES) au premier lancer mais tu as également 1 chance
sur 2 de tomber sur le dé B (4 faces ROUGES, 2 faces BLANCHES).
Ceci se traduit de la manière suivante au niveau calcul :

     1/2 * (3/6)  +  1/2 * (4/6)
=  1/2 * (3/6 + 4/6)                       ==> (j'ai factorisé)
=  1/2 * 7/6
=  7/12  

Remarque (surement inutile) ==> 7/12 est la moyenne des probabilités de tomber
sur une case rouge :
         -pour le dé dé A (3/6 soit 6/12)
         -et pour le dé B (4/6 soit 8/12)

Donc voila ma modeste contribution. Maintenant, c'est ton exercice
et c'est à toi de voir ce que selon toi ( ca change du selon
moi   hein? ) on te demande.

Voilà j'espère avoir pu t'aider.
À plus.

Bonsoir,

je suis tout à fait d'accord avec le brillant raisonnement de Belge*FDLE.


@+

Donc voila maintent je fais le 2) et ensuite je ferais vite la derniere
question que tu as demandée.

Si on considère que ce que j'ai fais au 1 est juste alors on a
:

     P(An)=an=1/2     et       P(Rn)=rn=7/12

On nous demande de prouver que :

     rn = (-1/6) an + 2/3

Or on a :

   (-1/6) an +2/3
= (-1/6) * (1/2) + 8/12
= -1/12 + 8/12
= 7/12
= rn
  
CONCLUSION ==> rn=(-1/6) an +2/3



Belge*FDLE

Montrons que pour tout n 1 :
A(n+1)=(An Rn)    (An barre  
  Rn barre)

L'évenement (An Rn) se traduit littérallement par : "Au
dernier lancer (puisqu'on s'occupe du lancer (n+1) on avait
lancer le dé A et il est retombé sur une case rouge".
Selon les règles décrites dans l'énoncé, on conserve alors le dé A
pour le lancer (n+1) et l'évènement A(n+1) est alors réalisé.

L'évenement (An barre    Rn barre) se traduit littérallement
par : "Au dernier on avait lancer le dé B et il est retombé sur
une face blanche".
Selon les règles décrites dans l'énoncé, on doit alors changer de
dé et prendre le dé A pour le lancer (n+1) et l évènement A(n+1)
est alors réalisé.

Selon les règles ce sont les deux seuls cas pour lesquels on utiliserait
le dé A au lancer suivant (n+1).

L'évènement A(n+1) est donc réalisé uniquement si l'évènement (An
Rn) ou l'evenement (An barre  
  Rn barre) est réalisé.

CONCLUSION ===> On a donc bien :
  
           A(n+1)=(An Rn)  
  (An barre    Rn barre)

Déduisons-en que :

      a(n+1)=(1/6)an+(1/3)

Nous avons vu que :

    A(n+1)=(An Rn)    (An
barre Rn barre)

(An Rn) et (An barre Rn barre)
sont incompatibles (en effet il est par exemple impossible de jeter
a la fois en meme temps le dé A et le dé B), on a donc :

  a(n+1)=(An Rn)  +  (An barre
Rn barre)

Calculons (An Rn) :
On a 1 chance sur 2 de tomber sur le dé A et si c le cas on a 3 chances
sur 6, cad 1 chance sur 2 de tomber sur une case rouge DONC :
(An Rn) = 1/2 * 1/2 = 1/4

Calculons à présent (An barre Rn barre):
Ona 1 chance sur 2 de tomber sur le dé B et si c le cas on a alors 2
chances sur 6, cad 1 chance sur 3 de tomber sur une case blanche
DONC:
(An barre Rn barre)= 1/2 * 1/3 = 1/6

On a donc finalement:

a(n+1)=(An Rn)  +  (An barre Rn
barre)

a(n+1)= 1/6 +1/4 = 4/24 + 6/24 =10/24 =5/12



Or on a également :

   1/6 an +1/3
= 1/6 * 1/2 + 1/3
= 1/12 + 4/12
= 5/12
=a(n+1)

CONCLUSION ==> a(n+1)=(1/6) an +1/3





  

Trouvons l'expression de an en fonction de n.
On a :

a1=1/2
a(n+1)=(1/6)*an+1/3

On voit là qu'il s'agit d'une suite aithmético-géométrique
de premier terme a1=1/2. Or on sait (je l'avais vu dans un exo
d'un livre ) que les suites arithmético-géométriques de la
forme :

up (premier teme de la suite)
u(n+1)=a*un+b

peuvent s'écrire en fonction de n de la manière suivante :

un=( up - b/(1-a) )*a^(n-p) + b/(1-a)

Donc pour (an), on a :

     an = (1/2 - [(1/3) / (1 - 1/6)] ) * (1/6)^(n-1) + [(1/3)
/ (1 - 1/6)].


CONCLUSION ===>
an = (1/2 - [(1/3) / (1 - 1/6)] ) * (1/6)^(n-1) + [(1/3) /
(1 - 1/6)].


Exprimons à présent rn en fonction de n (là ca devient vraiment CaRnAgE!!!!!
). Nous savons que si l'évenement An est realise (dé A 3
f. Rouges, 3 f. BLANCHES), alors, nous avons 1 chance sur 2 de tomber
sur une case rouge et au contraire si An n'est pas réalisé (cad
si An barre est réalisé, dé B 4 f ROUGES, 2 f. BLANCHES), alors on
a 2 chances sur 3 de tomber sur une case rouge.

On a donc :

rn = P(An) * 1/2 + P(An Barre) * 2/3

Or An et An Barre sont complémentaires donc :

P(An barre)= 1 - P(An) =1 - an


On a donc finalement :

rn = an *1/2 + (1-an)*2/3

CONCLUSION ==> rn = (1/2 - [(1/3) / (1 - 1/6)] ) * (1/6)^(n-1)
+ [(1/3) / (1 - 1/6)] * 1/2  + [ 1-(1/2 - [(1/3) / (1 - 1/6)] ) *
(1/6)^(n-1) + [(1/3) / (1 - 1/6)] ]*2/3

Remarque avec un carnage pareil, ce serait bien que quelqu'un d'expérimenté
(comme Océane ou autre) vienne confirmer ce que je viens de marquer
.

En espérant avoir aidé , à bientôt sur ce forum.


PS : merci pour cet exo ct sympas en plus ca m'a bien entrainé.


Belge*FDLE

Pour simplifier l'expression de rn, on peut reutiliser la meme formule
des suites arithmético-géométriques mais en partant de :

r(n+1)=(-1/6)rn+2/3.


Bon a je vous laisse le faire si vous voulez  mais franchement sur la
derniere ligne droite de l'exo (mon dernier poste et celui-ci
), je suis pas vraiment sur de moi. Enfin bon croyons au miracle
.

Il faut vraiment que quelqu'un de fort vérifie mes calculs de 1ere
S fatigué (vu l'heure po étonnant ). Allez, à plus.  

Bonjour,

Tu t'en sors bien, Belge*FDLE, pour un "carnage pareil" ... C'est
juste mais non simplifié.
En effet :
1/2 - [(1/3) / (1 - 1/6)]=1/10
donc an = (1/10)* (1/6)(n-1) + 2/5. (bien plus simple ).

Pour en revenir à la méthode utilisée, on peut éviter la formule toute
faite du livre en procédant de la manière suivante :
On définit une suite (bn) de la façon suivante :
bn=an-k en déterminant k pour que la suite bn soit géométrique.
Ici on trouve k=2/5
La suite bn est alors géométrique de raison 1/6 et de premier terme
: 1/10
Donc bn=(1/10)*(2/5)^n-1
Ensuite, on en déduit an en faisant : an=bn+2/5.

De même pour rn.
Ou plus simplement en utilisant la formule :
rn=(-1/6)an+(2/3)

@+

Je me suis rendu compte que j'avais fais une faute lorsque j'ai
voulu démontrer que :
   rn=(-1/6)an+(2/3)          et        a(n+1)=(1/6)an+(1/3)

De plus g proposé la solution de cet exercice en plusieurs posts, ce
qui est assez difficile à lire.
Donc, après avoir remarqué mes erreurs et avoir été aidé par Victor, je
propose le tout de la solution en 1


1/ Déterminer a1 et r1.

Déterminons a1. Par hypothèse, an désigne la probabilité que l'évènement
An "lancer le dé A au n-ième lancer". On a donc :
   an=P(An)
a1 correspond donc à la probabilité d'utiliser le dé A au premier
lancé. On nous dit dans l'énoncé que l'on choisit un dé
au hasard. On est donc en situation d'équiprobabilité.
Or on a que deux dé possible (le dé A et le dé B), soit 1 chance
sur 2 d'utiliser le dé A au premier lancer :
   P(A1)=a1=1/2

Déterminons r1.Par hypothèse, rn désigne la probabilité que l'évènement
Rn "tomber sur une face rouge au n-ième lancer". On a donc :
   rn=P(Rn)
On vient de voir que l'on a 1 chance sur 2 de tomber sur le dé
A (3 faces Rouges et 3 faces BLANCHES), mais également 1 chance sur
2 de tomber sur le dé B (4 faces ROUGES et 2 faces BLANCHES). La
probabilité de tomber sur une case rouge est donc de :
   P(R1)=r1=1/2 * 3/6 + 1/2 *4/6
   P(R1)=r1=1/2 * (3/6 + 4/6)
   P(R1)=r1=1/2 * 7/6
   P(R1)=r1=7/12

CONCLUSION => a1=1/2  et  r1=7/12


2/Pour tout n 1, on a:
    Rn=(Rn An) (Rn
An BARRE)
Montrer que rn=(-1/6)an+(2/3).

Montrons que rn=(-1/6)an+(2/3). Par hypothèse, on a :
  
   Rn= (Rn An) (Rn
An BARRE)

  d'où
   P(Rn)=rn=P(Rn An) + P(Rn An BARRE)
- P((Rn An) (Rn
An BARRE))

Remarquons que les évenements (Rn An) et (Rn
An BARRE) sont incompatibles. En effet, il est impossible d'obtenir
une face rouge en lançant le dé A et d'obtenir au même instant
une face rouge en lançant le dé : c'est tout simplement contraire
aux règles fixées dans l'énoncé.
On a donc :
   P((Rn An) (Rn
An BARRE)) = 0

d'où

   rn=P(Rn An) + P(Rn An BARRE)
   rn=P(Rn_p/An) * P(An) + P(Rn_{p/An BARRE}) *
P(An BARRE)
   rn= an * P(Rn_p/An) + (1-an) * P(Rn_{p/An BARRE})

Or nous savons que lorsque l'évenement An est réalisé, on a 3 chances
sur 6, cad une chance sur 2 de tomber sur une face rouge. Nous savons
également que lorsque c'est l'évenement An BARRE, complémentaire
de An, qui est réalisé, on a 4 chances sur 6, cad 2 chances sur 3,
d'obtenir une face rouge. On a donc finalement :

   rn= an * 1/2 + (1-an) * 2/3
   rn= 1/2 an - 2/3 an + 2/3
   rn= (3/6 - 4/6) an + 2/3
   rn= (-1/6) an + 2/3

CONCLUSION => rn= (-1/6) an + 2/3


3/ Montrer que pour tout n 1:

A(n+1)=(An Rn) (An barre
Rn barre)

En déduire que :
a(n+1)=(1/6)an+(1/3)

Exprimer an en fonction de n.  
Exprimer rn en fonction de n.

Montrons que pour tout n 1, on a bien :

A(n+1)=(An Rn) (An barre
Rn barre)

L'évenement (An Rn) se traduit littérallement par : "Au dernier
lancer (puisqu'on s'occupe du lancer (n+1) on avait lancer
le dé A et il est retombé sur une case rouge".
Selon les règles décrites dans l'énoncé, on conserve alors le dé A
pour le lancer (n+1) et l'évènement A(n+1) est alors réalisé.


L'évenement (An barre Rn barre) se traduit littérallement par
: "Au dernier on avait lancer le dé B et il est retombé sur une
face blanche". Selon les règles décrites dans l'énoncé, on
doit alors changer de dé et prendre le dé A pour le lancer (n+1)
et l'évènement A(n+1) est alors réalisé.

Selon les règles ce sont les deux seuls cas pour lesquels on utiliserait
le dé A au lancer suivant (n+1).

L'évènement A(n+1) est donc réalisé uniquement si l'évènement (An
Rn)  ou  l'evenement (An BARRE Rn BARRE) est
réalisé.

CONCLUSION ===>  On a donc bien :
    A(n+1)=(An Rn) (An BARRE
Rn BARRE)

On vient de montrer que :

A(n+1)=(An Rn) (An BARRE Rn
BARRE)

Donc,

P(A(n+1))=a(n+1)=P(An Rn) + P(An BARRE Rn BARRE) - P[(An
Rn) (An BARRE
Rn BARRE)]

Or les évènements (An Rn) et (An barre
Rn barre) sont incompatibles (il est en effet impossible de jeter
le dé A et le dé B en même temps, selon les règles de l'énoncé).
On a donc :

P[(An Rn) (An BARRE
Rn BARRE)] = 0

et

a(n+1)= P(An) * P(Rn_p/An) + P(An BARRE) * P(Rn BARRE_p/An
BARRE)
a(n+1)= an * P(Rn_p/An) + (1-an) * P(Rn BARRE_p/An
BARRE)

Or on sait que les chances d'obtenir une case rouge si on utilise
le dé A sont de 1 sur 2 et l'on sait également que les chances
d'obtenir une face blanche avec le dé B sont de 2 sur 6, cad
de 1 sur 3. On a donc:

a(n+1)= an * 1/2 + (1-an) * 1/3
a(n+1)= 1/2 an - 1/3 an + 1/3
a(n+1)= (3/6-2/6) an + 1/3
a(n+1)= (1/6) an + 1/3

CONCLUSION => a(n+1)= (1/6) an + 1/3


Trouvons l'expression de an en fonction de n.
On a :

{a1=1/2
  a(n+1)=(1/6)*an+1/3

On voit là qu'il s'agit d'une suite arithmético-géométrique
de premier terme a1=1/2. Or on sait (je l'avais vu ça dans un
exo
d'un livre ) que les suites arithmético-géométriques de
la
forme :

{up (premier teme de la suite)
  u(n+1)=a*un+b

peuvent s'écrire en fonction de n de la manière suivante :

un=( up - (b/(1-a)) )*a^(n-p) + (b/(1-a))

Donc pour (an), on a :

     an = (1/2 - [(1/3) / (1 - 1/6)] ) * (1/6)^(n-1) + [(1/3)
/ (1 - 1/6)]
     an = (1/2 - 6/15) * (1/6)^(n-1) + 6/15
     an = (5/10 - 4/10) * (1/6)^(n-1) + 2/5
     an = (1/10) * (1/6)^(n-1) + 2/5

CONCLUSION =>  
an = (1/10) * (1/6)^(n-1) + 2/5

Exprimons rn en fonction de n. On a démontré préalablement que :

    rn = (-1/6)an + 2/3

On a donc :

    rn = (-1/6) * [(1/10) * (1/6)^(n-1) + 2/5] + 2/3
    rn = -(1/6)ⁿ * (1/10) - 2/30 + 2/3
    rn = -(1/6)ⁿ * (1/10) - 1/15 + 10/15
    rn = -(1/6)ⁿ * (1/10) + 9/15
    rn = -(1/6)ⁿ * (1/10) + 3/5

CONCLUSION => rn = -(1/6)ⁿ * (1/10) + 3/5


Et voilà cette fois-ci, je pense que l'exercice est juste, bien
expliqué et sans faute. Encore Merci à Victor pour m'avoir
fait remarquer que j'oubliais de simplifier (po habituer a faire
des maths sur le PC moi ) : c'est clair que c'est bien
plus lisible tout d'un coup sans le carnage et tout .

À Plus.

Belge*FDLE

De rien Belge*FDLE pour l'aide.
Ta correction est très lisible et très complète


@+

J'ai eu les résultats de cet exercice et tu avais raison c'était
bien 7/12.Félicitation!!

Merci a vous deux