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proba conditionnelles

Posté par jujudiaw (invité) 24-03-06 à 13:19

Bonjour voici l'exercice:
Deux gamins, Gégé et Nanard, ont chacun deux pierres. Ils visent à tour de rôle une bouteille, Gégé le premier. Les probabilités qu'ils l'atteignent sont respectivement 1/3 et 1/4.
Quelle est la probabilité que Gégé fasse mouche le premier?
Pouvez-vous m'aider merci d'avance +++

Posté par
stokastikre : proba conditionnelles 24-03-06 à 13:22


Proba que Gégé fasse mouche le premier
= proba (Gégé mouche au premier coup OU Gégé rate le premier coup, Nanard rate le second, Gégé mouche le 3ème OU Gégé rate le premier coup, Nanard rate le second, Gégé rate le 3ème, Nanard rate le 4ème, Gégé mouche le 5ème OU...)

Posté par
stokastikre : proba conditionnelles 24-03-06 à 13:24


Donc 1/3 + 2/3*3/4*1/3 + 2/3*3/4*2/3*3/4+1/3 + ....

Posté par jujudiaw (invité)re : proba conditionnelles 24-03-06 à 13:32

je ne comprends pas pouvez-vous m'expliquer, comment faites-vous la question est quelle est la proba que Gégé fasse mouche le premier et vous écrivez "Gégé mouche le troisième"??? je ne comprends pas
De plus je connais le résultat c'est 1/2 coment trouver ce résultat??
Merci d'avance ++

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba conditionnelles 24-03-06 à 14:44


Soit 3$A_n l'événement : "Gégé fait mouche le premier ; et c'est au (3$2n+1)nième coup".
3$\mathbb{P}(A_n)=\frac{2}{3}\frac{3}{4}...\frac{2}{3}\frac{3}{4}\times\frac{1}{3} avec 3$n fois 3$\frac{2}{3} et 3$n fois 3$\frac{3}{4}
3$\mathbb{P}(A_n)=\left(\frac{1}{2}\right)^n\times\frac{1}{3}

Soit 3$A l'événement : "Gégé fait mouche le premier".
3$A=A_0\cup A_1\cup ...\cup A_n\cup ...=\bigcup_{n=0}^{\infty}A_n
Les événements 3$A_n étant incompatibles, on a :
3$\mathbb{P}(A)=\bigsum_{n=0}^{\infty}\mathbb{P}(A_n)
3$\mathbb{P}(A)=\frac{1}{3}\bigsum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n
3$\mathbb{P}(A)=\frac{1}{3}\frac{1}{1-\frac{1}{2}}
3$\fbox{\mathbb{P}(A)=\frac{2}{3}}

Je ne trouve pas la solution connue, 1/2. Où me suis-je trompé ?

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba conditionnelles 25-03-06 à 03:06

Pour ma dernière phrase, je plaisantais, bien sûr. La solution ne peut pas être 1/2, puisque Gégé tire le premier, et que sa probabilité de faire mouche à chaque coup est supérieure à celle de Nanard.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba conditionnelles 25-03-06 à 10:59

De manière un peu plus rigoureuse et formalisée...

3$\bullet On prend pour univers : 3$\Omega=\left\{0,1\right\}^{\mathbb{N}^*}.
Une éventualité 3$\omega de l'univers est donc une suite dénombrable de 0 et de 1 : 3$\omega=(0,0,1,1,0,....) où un 1 (resp. un 0) en i-ème position signifie que le joueur a fait mouche (resp. échoué).

Pour tout 3$\omega\in\Omega, on note 3$\omega_i\; (i\in\mathbb{N}^*) sa i-ème coordonnée (0 ou 1).

3$\bullet Pour tout 3$n\in\mathbb{N}, soit 3$G_{2n+1} l'événement : "Gégé fait mouche au coup 2n+1".
3$G_{2n+1}=\Bigcup_{\begin{array}{c}\omega\in\Omega\\\mathrm{tq}\,\omega_{2n+1}=1\end{array}}\omega
D'après l'énoncé : 3$\mathbb{P}\left(G_{2n+1}\right)=\frac{1}{3}. On note 3$\gamma cette grandeur.
3$\fbox{\forall n\in\mathbb{N},\;\mathbb{P}\left(G_{2n+1}\right)=\gamma=\frac{1}{3}}

3$\bullet Pour tout 3$n\in\mathbb{N}^*, soit 3$N_{2n} l'événement : "Nanard fait mouche au coup 2n".
3$N_{2n}=\Bigcup_{\begin{array}{c}\omega\in\Omega\\\mathrm{tq}\,\omega_{2n}=1\end{array}}\omega
D'après l'énoncé : 3$\mathbb{P}\left(N_{2n}\right)=\frac{1}{4}. On note 3$\nu cette grandeur.
3$\fbox{\forall n\in\mathbb{N}^*,\;\mathbb{P}\left(N_{2n}\right)=\nu=\frac{1}{4}}

3$\bullet Pour tout 3$n\in\mathbb{N}, soit 3$A_{2n+1} l'événement : "Gégé est le premier à faire mouche, et c'est au coup 2n+1"
3$A_{2n+1}=\bar{G_1}\cap\bar{N_2}\cap\bar{G_3}\cap\bar{N_4}\cap ...\cap\bar{G_{2n-1}}\cap\bar{N_{2n}}\cap G_{2n+1}
Or les événements intervenant dans le membre de droite sont indépendants. Donc :
3$\mathbb{P}(A_{2n+1})=\mathbb{P}(\bar{G_1})\cdot\mathbb{P}(\bar{N_2})\cdot\mathbb{P}(\bar{G_3})...\mathbb{P}(\bar{N_{2n}})\cdot\mathbb{P}(G_{2n+1})
3$\mathbb{P}(A_{2n+1})=(1-\gamma)^n(1-\nu)^n\gamma
3$\mathbb{P}(A_{2n+1})=\left[(1-\gamma)(1-\nu)\right]^n\gamma

3$\bullet Soit soit 3$A l'événement : "Gégé est le premier à faire mouche"
3$A=A_1\cup A_3\cup A_5\cup ...\cup A_{2n+1}\cup ...=\Bigcup_{n=0}^{\infty}A_{2n+1}
Or les événements intervenant dans le membre de droite sont incompatibles. Donc :
3$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_3)+...+\mathbb{P}(A_{2n+1})+...
3$\mathbb{P}(A)=\Bigsum_{n=0}^{\infty}\left[(1-\gamma)(1-\nu)\right]^n\gamma
3$\fbox{\mathbb{P}(A)=\frac{\gamma}{1-(1-\gamma)(1-\nu)}}

Application numérique :
3$\fbox{\mathbb{P}(A)=\frac{2}{3}}
Gégé a 2 chances sur 3 de faire mouche le premier.

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba conditionnelles 25-03-06 à 16:52

Au moins une faute de frappe. Remplacer par :
3$G_{2n+1}=\Bigcup_{\begin{array}{c}\omega\in\Omega\\\mathrm{tq}\,\omega_{2n+1}=1\end{array}}\left\{\omega\right\}
3$N_{2n}=\Bigcup_{\begin{array}{c}\omega\in\Omega\\\mathrm{tq}\,\omega_{2n}=1\end{array}}\left\{\omega\right\}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba conditionnelles 28-03-06 à 14:58

jujudiaw, les premières réponses de stokastik et moi-même datent maintenant de 4 jours, sans réaction de ta part. Que penses-tu de cette situation ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : proba conditionnelles 30-03-06 à 17:29

jujudiaw, après 6 jours sans nouvelle de ta part, que doit-on en conclure ?


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