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PROBA expérience de bernouilli

Posté par
mfd 18-10-15 à 18:20

Bonjour....

Je rencontre des difficultés au cours du problème suivant :

ARIELLE prépare son jardin pour le printemps prochain.
Elle achète deux sacs. Le sac 1 contient des bulbes de narcisses et le sac 2 des bulbes de tulipes.
La probabilité pour qu'un bulbe du sac 1 donne un narcisse jaune est de 1/4.
La probabilité pour qu'un bulbe du sac 2 donne une tulipe jaune est de 1/2.
Arielle choisit au hasard un sac et plante 50 bulbes.
On admet que l'effectif est suffisamment grand pour assimiler le tirage à un tirage successif avec remise.
Soit n un entier naturel vérifiant 0<= n <= 50
On définit les événements suivants :
A : arielle a choisi le sac 1
B : arielle a choisi le sac 2
Jn : Arielle obtient n fleurs jaunes

1)On suppose qu'Arielle choisit le sac 1
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de fleurs jaunes obtenues à partir de 50 bulbes
du sac 1;
a) quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X ?
b) quelle est l'espérance mathématique de cette loi?
c) calculer à l'aide de la calculatrice a probabilité qu'Arielle obtienne 15 fleurs jaunes?
d) calculer la probabilité qu'Arielle obtienne plus de 10 fleurs jaunes
e) donner une expression en fonction de n de la probabilité qu'Arielle obtienne n fleurs jaunes et qu'elle ait planté les 50 bulbes du sac 1.

2a)Calculer P(Jn intersection B). interpréter le résultat;
b) Calculer P(Jn intersection A)
c) Calculer la probabilité qu'Arielle obtienne n fleurs jaunes après avoir planté 50 bulbes issus du sac 1 ou du sac 2

3) on note pn la probabilité conditionnelle PJn (A) :
Montrer que pour tout entier n :
               pn = 3^50 / ( 3^50 + 2^50 x 3^n )

Voila mes résultats
1a) loi binomiale B(50,1/4)
1b) E(X) = np = 50 x 1/4 = 12,5
1c) P(X=15) Combinaison (50, 15) x (1/4)^15 x (3/4)^35 = 0,89
1d) P (X > 10) = 1 - P (X < = 10)  = 1 - 0,2622 = 0,738
1e) P (X = n) = Combinaison ( n , 50) x (1/4)^n x (3/4) ^ (50-n)
2a) P ( Jn inter B) : arielle obtient n fleurs jaunes avec le sac 2
    P (Jn inter B) = Combinaison (n , 50) x (1/2)^n x (1/2) ^(50-n)
                   = Combinaison (n,50) x (1/2)^50 = 8,88 x 10 ^(-16) x combinaison (n,50)

JE NE SAIS PAS INTERPRETE CE RESULTAT COMME CELA EST DEMANDE  
  
2b) P (Jn inter A): Arielle obtient n fleurs jaunes avec le sac 1
    JE NE VOIS PAS LA DIFFERENCE de CETTE QUESTION AVEC CELLE POSEE EN 1e)

3a) JE NE SAIS PAS FAIRE
2c) JE N'AI AUCUNE IDEE

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : PROBA expérience de bernouilli 18-10-15 à 19:34

Bonjour,

1)c) Le calcul me semble juste, mais le résultat me semble faux.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : PROBA expérience de bernouilli 18-10-15 à 19:38

1)d) OK

1)e) OK
Il s'agit de \mathbb{P}(J_n/A).
C'est en ce sens qu'il s'agit d'une question différente de 2)b), qui traite de \mathbb{P}(J_n\cap A)

Posté par
mfdre : PROBA expérience de bernouilli 18-10-15 à 19:52

Merci de m'aider .....

Qu'Est-ce que tu veux dire par P(Jn/A)?Est-ce une proba conditionnelle

l'événement Jn inter A ne signifie-t-il pas la proba d'obtenir n fleurs après avoir pris 50  

bulbes dans le sac 1

Cordialement..... Je suis toujours bien bloqué....
  

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : PROBA expérience de bernouilli 18-10-15 à 19:54

1)e) OK
Il s'agit de \mathbb{P}_{A}(J_n).
C'est en ce sens qu'il s'agit d'une question différente de 2)b), qui traite de \mathbb{P}(J_n\cap A)

\mathbb{P}_{A}(J_n) = probabilité d'obtenir n fleurs jaunes sachant qu'on a pris le sac 1

\mathbb{P}(J_n\cap A) = probabilité de choisir le sac 1 et d'obtenir n fleurs jaunes.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : PROBA expérience de bernouilli 18-10-15 à 19:57

2)a)
\mathbb{P}(J_n\cap B) = \mathbb{P}_B(J_n)\cdot\mathbb{P}(B)
\boxed{\mathbb{P}(J_n\cap B) = \binom{50}{n}\dfrac{1}{2^{51}}}
Je ne vois pas bien comment interpréter ce résultat.

2)b)
\mathbb{P}(J_n\cap A) = \mathbb{P}_A(J_n)\cdot\mathbb{P}(A)
\boxed{\mathbb{P}(J_n\cap A) = \dfrac{1}{2} \binom{50}{n} \left(\dfrac{1}{4}\right)^n \left(\dfrac{3}{4}\right)^{50-n}}

2)c)
A et B forment une partition de l'univers, donc :
\mathbb{P}(J_n) = \mathbb{P}(J_n\cap A) + \mathbb{P}(J_n\cap B)
\boxed{\mathbb{P}(J_n) = \binom{50}{n}\dfrac{1}{2^{51}} \left( 1 + \dfrac{3^{50-n}}{2^{50}} \right) }

3)
p_n = \mathbb{P}_{J_n}(A)
p_n = \dfrac{ \mathbb{P}(A \cap J_n) }{ \mathbb{P}(J_n) }
p_n = \dfrac{ \dfrac{1}{2} \binom{50}{n} \left(\dfrac{1}{4}\right)^n \left(\dfrac{3}{4}\right)^{50-n} }{ \binom{50}{n}\dfrac{1}{2^{51}} \left( 1 + \dfrac{3^{50-n}}{2^{50}} \right) }
Après simplification :
\boxed{p_n = \dfrac{ 3^{50} }{ 3^{50} + 2^{50}\times 3^n }}

Posté par
mfdre : PROBA expérience de bernouilli 18-10-15 à 20:49


Je te remercie très sincèrement car j'avais séché plusieurs heures et je ne savais plus quoi entreprendre

Merci merci beaucoup

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : PROBA expérience de bernouilli 18-10-15 à 20:50

Je t'en prie. Vérifie tout de même les calculs.


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