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Proba petit pb

Posté par chti_moon (invité) 23-01-05 à 12:21

Salut, j'ai besoin d'un peu d'aide pour cet exercice. merci d'avance.
On dispose d'un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par Pk la probabilité d'obtenir, lors d'un lancer, la face numérotées k (k est un entier naturel et 1<=k<=6)
ce dé a été pipé de telle sorte que :
-les 6 faces ne sont pas équiprobables,
-les nombres P1,P2,P3,P4,P5 et P6, ds cet ordre, sont 6 termes consécutifs d'une suite géométrique de raison r,
-les nombres P1,P2 et P4, dans cet ordre, sont 3 termes consécutifs d'une suite arithmétique.

1) Démontrer que Pk=k/21 pour tt entier k tel que 1<=k<=6.
Pour cette question je vois pas trop comment faire mais j'imagine qu'il faudrait utiliser le fait qu'on ait des suites.

2)On lance ce dé une fois et on considère les événements suivants :
A:"le nombre obtenu est pair"
B:"Le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3"
C:"Le nombre obtenu est 3 ou 4"

a) Calculer la proba de chacun de ces événements.
J'ai trouvé : P(A)=4/7 P(B)=6/7 P(C)=1/3
b) Calculer la proba que le nombre abtenu soit supérieur ou égal à 3, sachant qu'il est pair.
J'ai trouvé : P(B/A)=10/21
c) Les événements A et B sont-ils indépendants ? De même pour A et C.
J'ai trouvé qu'aucun ne sont indépendants mais je suis pas sûr de moi.

3)On utilise ce dé pour un jeu. On dispose :
-d'une urne U1 contenant une boule blanche et trois boules noires,
-d'une urne U2 contenant deux boules blanches et une boule noire.
Le joueur lance le dé :
-s'il obtient un nombre pair, il extrait au hasard une boule de l'urne U1,
-s'il obtient un nombre impair, il extrait au hasard une boule de l'urneU2.

On suppose que les tirages sont équiprobables et le joueur est declaré gagnant lorsqu'il tire une boule blanche, on note G cet evenement.
a) Determiner la probabilite de l'événement GinterA, puis la probabilité de l'événement G.
b) Le joueur est gagnant. Determiner la probabilite qu'il ait obtenu un nombre pair lors du lancer du dé.

Pour cette dernière question je ne sait pas du tout comment faire.
Merci encore pour vos réponses. MERCI

Posté par Kiki (invité)Proba 23-01-05 à 14:43

Salut,
j'ai besoin d'un peu d'aide pour cet exercice. merci d'avance.
On dispose d'un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par Pk la probabilité d'obtenir, lors d'un lancer, la face numérotées k (k est un entier naturel et 1<=k<=6)
ce dé a été pipé de telle sorte que :
-les 6 faces ne sont pas équiprobables,
-les nombres P1,P2,P3,P4,P5 et P6, ds cet ordre, sont 6 termes consécutifs d'une suite géométrique de raison r,
-les nombres P1,P2 et P4, dans cet ordre, sont 3 termes consécutifs d'une suite arithmétique.

1) Démontrer que Pk=k/21 pour tt entier k tel que 1<=k<=6.
Pour cette question je vois pas trop comment faire mais j'imagine qu'il faudrait utiliser le fait qu'on ait des suites.

2)On lance ce dé une fois et on considère les événements suivants :
A:"le nombre obtenu est pair"
B:"Le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3"
C:"Le nombre obtenu est 3 ou 4"

a) Calculer la proba de chacun de ces événements.
J'ai trouvé : P(A)=4/7 P(B)=6/7 P(C)=1/3
b) Calculer la proba que le nombre abtenu soit supérieur ou égal à 3, sachant qu'il est pair.
J'ai trouvé : P(B/A)=10/21
c) Les événements A et B sont-ils indépendants ? De même pour A et C.
J'ai trouvé qu'aucun ne sont indépendants mais je suis pas sûr de moi.

3)On utilise ce dé pour un jeu. On dispose :
-d'une urne U1 contenant une boule blanche et trois boules noires,
-d'une urne U2 contenant deux boules blanches et une boule noire.
Le joueur lance le dé :
-s'il obtient un nombre pair, il extrait au hasard une boule de l'urne U1,
-s'il obtient un nombre impair, il extrait au hasard une boule de l'urneU2.

On suppose que les tirages sont équiprobables et le joueur est declaré gagnant lorsqu'il tire une boule blanche, on note G cet evenement.
a) Determiner la probabilite de l'événement GinterA, puis la probabilité de l'événement G.
b) Le joueur est gagnant. Determiner la probabilite qu'il ait obtenu un nombre pair lors du lancer du dé.
Je ne sait pas du tout comment faire.
MERCI

*** message déplacé ***

Posté par chti_moon (invité)aide pr les proba svp! 24-01-05 à 19:10

Posté par Erreur d énoncé 24-01-05 à 21:48

Salut à tous ,

Désolé, mais il me semble qu'il y a une erreur dans cet énoncé.
On nous demande de démontrer que l'on a :

$2$\rm~Pk~=~\frac{k}{21}~~k\in{1,2,3,4,5,6}$

On aurait donc ainsi :
$2$\rm~P1~=~\frac{1}{21}$
$2$\rm~P2~=~\frac{2}{21}$
$2$\rm~P3~=~\frac{3}{21}$
$2$\rm~P4~=~\frac{4}{21}$
$2$\rm~P5~=~\frac{5}{21}$
$2$\rm~P6~=~\frac{6}{21}$

Or, on remarque que p1, p2, p3, p4, p5 et p6 ne sont pas des termes consécutifs d'une suite géométrique et que p1, p2 et p4 ne sont pas non plus des termes consécutifs d'une suite arithmétique. On nous demande donc, en gros de démontrer quelque chose qui est contradictoire avec les hypothèses.... .

Il y a donc une erreur soit dans la question, soit dans les hypothèses...

À +

Posté par Après réflexion ....

24-01-05 à 22:04

Ne serait-ce pas plutôt :

p1, p2, p3 p4, p5 et p6 termes d'une suite arithmétique
et p1, p2, p4 termes d'une suite géométrique

À +

Posté par Claracaprice59 (invité)Tu as raison Belge -fdle 25-01-05 à 19:27

mais la question maintenant est comment repondre a cette question je cherche la solution la demonstartion mais je n y arrive pas
peux tu nous aider???stp
merci d avance

Posté par Un peu de lecture

26-01-05 à 17:10

Salut à tous ,

Désolé pour le temps mis à répondre. En fait cette question m'a aussi posé quelques problèmes .
Alors, je vais essayer de t'aider de mon mieux :

1)Démontrer que Pk=k/21 pour tt entier k tel que 1<=k<=6.
Alors, tout d'abord, le dé n'ayant que 6 faces, on a :   $2$\rm~p1+p2+p3+p4+p5+p6=1$
De plus, on sait que p1, p2, p3 p4, p5 et p6 sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison r. On a donc :   $2$\rm~p2~=~p1+r,~~p3=p1+2r~~...~~p6=p1+5r$
Enfin, p1, p2 et p4 sont les termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q. On a donc : $2$\rm~p2~=~p1.q~~et~~p4~=~p1.q^2$

On obtient ainsi le système de trois équations suivant :

$2$\rm~\{{p1+p2+p3+p4+p5+p6=1\\p2=p2\\p4=p4}$

d'où   $2$\rm~\{{6(p1)+15r=1~~(A)\\p1+r=p1.q~~(B)\\p1+3r=p1.q^2~~(C)}$

Intéressons nous tout d'abord à la relation (A) afin d'exprimer p1 en fonction de r (on aurait pu tout aussi bien faire l'inverse si on le souhaitait). On a :

$2$\rm~6(p1)+15r=1$
d'où   $2$\rm~6(p1)=1-15r$
ainsi   $2$\rm~p1=\frac{1-15r}{6}$

On peut à présent remplacer p1 dans la relation (B) afin de tenter d'exprimer q en fonction de r :

$2$\rm~p1+r=p1.q$
càd   $2$\rm~\frac{1-15r}{6}+r=\frac{1-15r}{6}.q$
d'où   $2$\rm~\frac{1-9r}{6}=\frac{q-15qr}{6}$
i.e   $2$\rm~1-9r=q(1-15r)$
ainsi   $2$\rm~q=\frac{1-9r}{1-15r}$

On peut maintenant remplacer q et p1 (tous deux exprimés en fonction de r) dans la relation (C) afin de se retrouver avec une équation à une seule inconnue, r. On a :

$2$\rm~p1+3r=p1.q^2$
d'où   $2$\rm~\frac{1-15r}{6}+3r=\frac{1-15r}{6}.(\frac{1-9r}{1-15r})^2$
i.e   $2$\rm~\frac{1+3r}{6}=\frac{(1-9r)^2}{6(1-15r)}$
donc   $2$\rm~1+3r=\frac{(1-9r)^2}{(1-15r)}$
par conséquent   $2$\rm~(1+3r)(1-15r)=(1-9r)^2$
càd   $2$\rm~1-12r-45r^2=1-18r+81r^2$
donc   $2$\rm~126r^2-6r=0$
ainsi   $2$\rm~6r(21r-1)=0$

SSI   $2$\rm~r=0~~ou~~r=\frac{1}{21}$

Or, si r=0, on a q=1 et par conséquent p1=p2=p3=p4=p5=p6=1/6 et on est en situation d'équiprobabilité, ce qui est en contradiction avec les hypothèses.
Ainsi, on a r=1/21, q=2 et p1=1/21, et on a donc bien :

$2$\rm~pk~=~\frac{k}{21}~~pour~~k\in\mathbb{N}~et~k\in[1;6]$

Voili voiloù, pour cette question. En fait, le plus dur, était de ne pas "s'affoler" devant ce système à 3 équations et à faire attention à ne pas le compliqué . Il fallait aussi faire attention à bien commencer par traiter la relation en premier car c'était la seule qui faisait intervenir uniquement 2 inconnues (les autres faisaient intervenir les 3).

2)On lance ce dé une fois et on considère les événements suivants :
A:"le nombre obtenu est pair"
B:"Le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3"
C:"Le nombre obtenu est 3 ou 4"
a-Calculer la proba de chacun de ces évènements.
D'après ce qu'on a vu précédemment, on a :

$2$\rm~p(A)~=~p(2)+p(4)+p(6)~=~\frac{2+4+6}{21}~=~\frac{12}{21}~=~\frac{4}{7}$
$2$\rm~p(B)~=~p(3)+p(4)+p(5)+p(6)~=~\frac{3+4+5+6}{21}~=~\frac{18}{21}~=~\frac{6}{7}$
$2$\rm~p(C)~=~p(3)+p(4)~=~\frac{3+4}{21}~=~\frac{7}{21}~=~\frac{1}{3}$

b-Calculer la proba que le nombre obtenu soit supérieur ou égal à 3, sachant qu'il est pair.
De même, on a :
$2$\rm~p_A(B)~=~\frac{p(A\cap~B)}{p(B)}$
d'où   $2$\rm~p_A(B)~=~~\frac{p(4)+p(6)}{\frac{18}{21}}$     (si le numéro est pair et supérieur ou égal à 3, alors ils s'agit de 4 ou de 6)
i.e   $2$\rm~p_A(B)~=~\frac{\frac{4+6}{21}}{\frac{18}{21}}$
ainsi   $2$\rm~p_A(B)~=~\frac{10}{18}$
donc   $2$\rm~p_A(B)~=~\frac{5}{9}$

(Je ne trouve donc pas les mêmes résultats que chti_moon )

c-Les événements A et B sont-ils indépendants ? De même pour A et C.
On a vu que :
$2$\rm~p_A(B)\neq~p(B)$
Par conséquent les évènements A et B sont conditionnés et ne sont donc pas indépendants.

Pour A et C, on remarque que l'intersection de ces deux évènement est "obtenir 4". On a donc :
$2$\rm~p(A\cap~C)~=~p(4)~=~\frac{4}{21}$
Or, on a :
$2$\rm~p(A)\times~p(B)~=~\frac{4}{7}\times\frac{1}{3}~=~\frac{4}{21}$
Ainsi, on a : $2$\rm~p(B)\times~p(A)~=~p(A\cap~B)$
Ceci traduit que les évènements A et C sont indépendants.

3)On utilise ce dé pour un jeu. On dispose :
-d'une urne U1 contenant une boule blanche et trois boules noires,
-d'une urne U2 contenant deux boules blanches et une boule noire.
Le joueur lance le dé :
-s'il obtient un nombre pair, il extrait au hasard une boule de l'urne U1,
-s'il obtient un nombre impair, il extrait au hasard une boule de l'urneU2.

On suppose que les tirages sont équiprobables et le joueur est declaré gagnant lorsqu'il tire une boule blanche, on note G cet evenement.
a) Déterminer la probabilite de l'événement " $2$G\cap~A$ ", puis la probabilité de l'événement G.
Alors, pour que  " $2$G\cap~A$ "  soit réalisé, il faut tout d'abord que l'évènement A soit réalisé. Or, si l'évènement A est réalisé, on a obtenu un nombre pair, et on tirera donc une boule dans l'urne U1 qui contient 1 boules blanches et 3 noires. On a donc :

$2$\rm~p(A\cap~G)~=~p(A)\times\frac{1}{4}~=~\frac{4}{7}\times\frac{1}{4}~=~\frac{1}{7}$

Cependant, on peut également gagner dans le cas où A n'est pas réalisé. On aura alors tiré un nombre impair et on tirera une boule de l'urne U2 qui contient 2 boules blanches et 1 noire. On a donc :

$2$\rm~p(G)~=~p(A\cap~G)+p(\bar{A}\cap~G})$
d'où   $2$\rm~p(G)~=~p(A\cap~G)+p(\bar{A})\times\frac{2}{3}$
càd   $2$\rm~p(G)~=~p(A\cap~G)+(1-p(A))\times\frac{2}{3}$
ie   $2$\rm~p(G)~=~\frac{1}{7}+\frac{3}{7}\times\frac{2}{3}$
ainsi   $2$\rm~p(G)~=~\frac{1}{7}+\frac{2}{7}$
donc   $2$\rm~p(G)~=~\frac{3}{7}$

b) Le joueur est gagnant. Déterminer la probabilité qu'il ait obtenu un nombre pair lors du lancer du dé.
Il s'agit ici d'un simple calcul de probabilité conditionnelle. On calcule la probabilité de l'évènement A sachant G. Or, on sait que :

$2$\rm~p_G(A)~=~\frac{p(A\cap~G)}{p(G)}~=~\frac{\frac{1}{7}}{\frac{3}{7}}~=~\frac{1}{3}$

Conclusion : Si le joeur est gagnant, il y a une chance sur 3 qu'il ait obtenu un nombre pair lors du lancer de dé.

Voilà .
Si vous avez des questions, n'hésitez pas .

À +

Posté par Bien joué, mais attention a l'étourderie 24-04-09 à 11:37

Oui, je sais, le sujet a quatre ans. Néanmoins comme toutes les générations ont les même sujets je peux me permettre d'apporter une précision quand au formidable travail de Belge-FDLE.

Concernant la question 2-b. Le résultat est faux car la formule de départ est fausse, une petite étourderie.

P(B/A)=P(A⋂B)/P(A) !
D'où P(B/A) = (P4+P6)/P(A) = (10/21)/(12/21)=10/12 ou 5/6

Voila, voila,
Et merci beaucoup

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