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proba sur des génotypes
Bonjour. voici un exo de DM ke j'ai un peu fait ms je compren pa tout si je pouvais avoir de laide ce serait sympa... il est un peu lon ms vous inkiétez pas ya bcp de baratin pour rien.
l'objet de cet exercice est une application du calcul des probabilités à la génétique.
Une première question est consacrée à l'étude de suites qui interviennent dans cette application.
1/ Soit 
un nombre réel différent de 1. On considère les suites (an) et (bn) définies pour tout entier naturel n par a0=0 et b0=0=1
an+1=an+((1-)/2)*bn et bn+1=bn
a) Exprimer bn en fonction de n et pour tout entier n
On a trouvé bn=n
b) En déduire la valeur de an+1-an et montrer que pour tout entier n, an=1/2*(1-n)
La on a pas compri
2/ Etant donné un gêne possédant un couple d'allèles A et a, on dit qu'une plante est homozygote lorsqu'elle contient les deux memes allèles sur une paire de chromosomes homologues: elle est alors de génotype AA ou aa. Une plante est hétérozygote lorsqu'elle est du génotype Aa.
Certaines plantes, par exemple le lupin se reproduisent par autogamie ( ou autofécondation ) : tout se passe pour la descendance comme si on fécondait deux plantes de mmeme génotypes, chaque chromosome d'une paire étant sélectionné au hasard.
a) Calculer les probabilités pour qu'une plante de génotype AA, ou aa ou Aa donne par autogamie une plante de génotype AA ou aa ou Aa.
b) Partant d'une plante hétérozygote ( génération 0 ) on constitue par autogamie des générations successives. On note:
AAn l'évènement "la plante de la nième génération est de génotype AA"
Aan l'évènement "la plante de la nième génération est de génotype Aa"
aan l'évènement "la plante de la nième génération est de génotype aa"
On appelle xn la proba de AAn , yn la proba de Aan et zn la proba de aan ; en particulier x0=0, y0=1 et z0=0
Expliciter les proba conditionnelles de AAn+1 sachant AAn , de AAn+1 sachant Aan , de Aan+1 sachant Aan
En déduire que xn+1=xn+1/4*yn et yn+1=1/2*yn pour tout entier n.
Utiliser les résultats du 1/ pour donner les valeurs de xn et de yn , puis de zn en fonction de n.
Indication : Que peut-on dire de xn+yn+zn?
c)On garde les hypothèses et les notations de b)
Calculer la proba pn pour qu'une plante de la nième génération ne soit pas homozygote.
A partir de quelle génération (caractérisée par son numéro d'ordre n) a t on pn
0.01?
Voila merci dévance pour ceux qui peuve m'aider.
Salut,
On considère les suites (an) et (bn) définies pour tout entier naturel n par:
a0=0 et b0=1
an+1 = an+((1-)/2)*bn
et bn+1 = bn
On a donc:
bn = bn-1
bn = 2bn-2
bn = 3bn-3
...
bn = nb0
bn = n (b0=1)
On a d'après l'énoncé que:
an+1 - an = ((1-)/2)bn
En injectant l'expression trouvée pour bn, on obtient:
an+1 - an = ((1-)/2)n
La démonstration du fait que an=1/2*(1-n) peut se faire par récurrence.
1ère étape: vérification de la propriété au rang 0.
On a : a0 = 1/2*(1-0)= 1/2*(1-1)=0 VERIF OK
2ème étape: On suppose la propriété vraie au rang n et on vérifie qu'elle reste vraie au rang n+1
D'après la question précédente, on a :
an+1 = an + ((1-)/2)n
En utilisant l'hypothèse de récurrence on transforme l'expression:
an+1 = 1/2*(1-n) + ((1-)/2)n
Pour la suite tu as besoin de te souvenir que:
(1-n+1)/(1-)= 1 + 1 + 2 + ... + n (**)
On reprend le calcul en utilisant (**):
an+1 = ((1-)/2) * ( 1 + 1 + 2 + ... + n-1 + n-1) + ((1-)/2) * n
On factorise par (1-)/2:
an+1 = (1-)/2 * ( 1 + 1 + 2 + ... + n-1 + n-1 + n)
En réutilisant (**) on obtient :
an+1=1/2*(1-n+1) CQFD
On conclut ensuite en utilisant le principe de récurrence.
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2)
1er cas: la plante mère est de génotype AA.
Le seul génotype qu'elle pourra engendrer est AA.
On a donc:
Proba("la plante engendrée est de génotype AA)= 1
Proba("la plante engendrée est de génotype Aa)= Proba("la plante engendrée est de génotype aa)= 0
le cas de la plante mère de génotype aa est similaire.
3ème cas: la plante mère est de génotype Aa
Tous les génotypes peuvent être engendrés. AA, Aa ou aa
Proba("la plante engendrée est de génotype AA)= 1/4
Proba("la plante engendrée est de génotype aa)= 1/4
Proba("la plante engendrée est de génotype AA)= 1/2
(Je te laisse le démontrer... c'est facile.)
Dans la suite on travaille avec une plante mère hétérozygote (génération), soit de génotype Aa.
D'après les notations de l'énoncé on a donc x0 = z0 = 0 et y0 = 1
P(AAn+1/AAn), c'est la probabilité que la fille soit de génotype AA sachant que sa mère est AA.
P(AAn+1/AAn)= 1 donc. (cf plus haut)
P(AAn+1/Aan), c'est la probabilité que la fille soit de génotype AA sachant que sa mère est Aa.
P(AAn+1/Aan)= 1/4
P(Aan+1/Aan), c'est la probabilité que la fille soit de génotype Aa sachant que sa mère est Aa.
P(Aan+1/Aan)= 1/2
xn+1= P(AAn+1)
xn+1= P(AAn+1/AAn) * P(AAn) + P(AAn+1/Aan) * P(Aan) +
P(AAn+1/aan) * P(aan) (formules des probabilités totales)
xn+1 = 1 * xn + 1/4 * yn + 0 * zn
xn+1 = xn + 1/4 * yn
Tu fais de même pour déterminer yn+1. On obtient bien:
yn+1 = 1/2 * yn
On retrouve les suites du début du devoir avec =1/2.
On en déduit donc que:
xn = 1/2*(1-(1/2)n)
yn = (1/2)n
zn est en fait égal à 1 - xn - yn. En effet, une plante n'a pas d'autre choix que d'être soit AA, Aa, aa.
Les événements AAn, Aan, aan. D'où xn + yn + zn = 1.
Enfin, (ouffff)
On a pn = yn = (1/2)n
pn (1/2)n
pn n * ln(1/2)
pn n
pn n
A partir de la 7ème génération, la probabilité d'obtenir une plante hétérozygote est donc inférieure à 1%.
Voili, voiloù... Je suis bon pour aller dormir là. En espèrant ne pas m'être planté...
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