1) On tire successivement et avec remise n pièces ds un lot qui en contient en moyenne 5% de défectueuses.

donc X-->B(n,p) pù p=0.05 (loi binomiale)

E[X] = np = 0.05n
V[X] = np(1-p) = n * 0.05 * 0.95 = 0.0475n

ET[X]=V[X]

2) Il faut cherhcher P[X>3] = 1-P[X<=3]

Ainsi, tu peux lire ds la table de la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0.05, la probabilité pour que X<=3.

Voilà!

Salut enzo.

Y a deux trucs que j'ai pas trop compris...

C'est quoi le V[X] et toute la question 2).

Si tu repasses par la tu peux me répondre stp?.

Merci.

V[X], c'est tout simplement la variance de X.

Pour la question 2:

la loi binomiale est une loi discrète, cve qui veut dire que ses valeurs sont des entiers. généralement quand tu connais la loi d'une variable aléatoire, il existe des tables qui te permettent de déterminer P[X<=a], mais jamais P[X>a].

Or, P[X>a] = 1 - P[X<=a] (ce qui est toujours vrai). il est donc tout à fait possible de connaître P[X>a] en connaissant P[X<=a].

P[X<=a] est équivalent à la fonction de répartition de X en a, soit:

P[X<=a] = F(a), où F est la fonction de répartition.

dans le cas de la question 2, on sait que n=10 et p=0.05 et a=3.
il faut donc chercher P[X<=3] = F(3) où F est la fonction de répartition de la loi binomiale.

Il est possible que tu ne possèdes pas ces tables. Dans ce cas, il te faut calculer cette proba à partir de la densité d'une loi binomiale, soit:

P[X=a] = C_n^a p^a (1-p)^n-k

Il faut que tu calcules cette quantité pour a=0, a=1, a=2 et a=3. Ensuite, tu fais la somme des quatres proba que tu as trouvé.

Ce qui te donne P[X<=3]. Il te suffit alors de retrancher 1 à cette somme pr avoir P[X>3].

lit "a" à la place de "k" ds la formule

Par exemple, pour a=0, tu as:

P[X=0] = C₀₁₀ 0.05³ 0.95⁷

       = 8.7 * 10^-5

(revérifie le calcul)

Je trouve 36.7% comme résultat, c'est juste?

moi j'ai 0.002 = 0.2%

En fait, je viens de voir que j'avais fait une erruer ds le post de l'exemple numérique; c'est:

P[X=0] = C⁰₁₀ 0.05⁰ 0.95⁷
       = 0.698 (c qd meme pas la même chose!!)

désolé!

Tu es sur de ton résultat?

Moi je trouve:

P[X=0] C₁₀⁰=0.5987

Décidemment, je fais vraiment n'importe quoi!

P[X=0]=0.95 tout simplement

Comme P[X=a] = C₁₀⁰ 0.05⁰ 0.95¹⁰, ce qui est bien égal à 0.5987!

Ok.

J'ai encore une petite question.

On prend n=100. Montrer que la loi de probabilité de X peut être approchée par une loi de poisson dont on donnera le paramètre.

En utilisant cette approximation, calculer la probabilité que parmi 100 picèces prélevées, il n'y en ait que 3 qui soient défectueuses.

Tu peux regarder ici

http://serge.mehl.free.fr/chrono/Poisson.html#lp

Tout est détaillé, ainsi que la démonstration

J'ai essayé de comprendre avec le lien donnée ci-dessus mais j'y arrive pas. Quelqu'un peut m'aider?
Merci.

Dur, dur, les probas !
Essayons de mettre un peu d'ordre là-dedans sachant que c'est une application directe du cours.

Une usine fabrique des cylindres en grande série.
L'expérience montre qu'en fabrication normale 5% de ces cylindres sont défectueux. Soit X la variable aléatoire qui,à chaque prélèvement au hasard de n pièces de ce lot, associe le nombre de pièce défectueuses.
n assez grand pour que ce prélèvement puisse être assimilé à un tirage avec remise.

1)Quelle est la loi de probabilité de X? Préciser l'espérance mathématique et l'écart type de X en focntion de n.

X suit une loi binomiale de paramètres et . Notons la probabilité de tomber sur une pièce bonne lors d'un prélèvement : .

Donc :




Rappel de notation :

2) On prend n=10. Calculer à 10^-4 près la probabilité que parmi les 10 pièces choisies il y ait plus de 3 pièces défectueuses.






3) On prend n=100. Montrer que la loi de probabilité de X peut être approchée par une loi de poisson dont on donnera le paramètre. En utilisant cette approximation, calculer la probabilité que parmi 100 picèces prélevées, il n'y en ait que 3 qui soient défectueuses.

On sait que si X suit une loi , alors X est approximable par une variable aléatoire Y qui suit une loi de Poisson avec
Ceci à condition que et , ce qui est le cas ici.

Donc X est approximable par Y de loi .



Remarque : on peut calculer la valeur exacte de :


Sauf erreur.

Nicolas