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Probabilité
Pouvez vous m'aider pour cet exercice. Merci d"avance pour votre aide.
Une boite contient 6 boules rouges et n boules blanches. Un jeu consiste à tirer successivement, sans remise, deux boules de la boite.
Si les deux boules ont la même couleur, le joueur gagne 1 euro ; si elles sont de couleurs différentes, le joueur perd 1 euro.
2- Dans cette question, l'entier n est quelconque, supérieur ou égal à 2. On note X la variable aléatoire qui à chaque tirage de deux boules associe le gain algébrique du joueur.
a) Prouver que l'espérance mathématique E(X) est telle que :
b) Pour quelles valeurs de n le jeu est-il équitable ?
c) Pour quelles valeurs de n est-il défavorable ?
3- On appelle la probabilité que les deux jetons tirés soient de couleurs différentes.
a) Montrer que
b) Déterminer l'entier n pour lequel la probabilité est maximale. Préciser la valeur de
correspondante.
Debut de réponse :
2.a) X= +1 si elles sont identiques et X= -1 si elles sont différentes :
Pouvez vous m'aider pour la suite. merci
Bonjour et merci.
Bien évidement je sait à quoi E(X) est égal.
Mais j"eprouve des difficultés à troouver et résoudre le polynôme pour répondre aux questions 2a, 2b et 3.
Merci d'avance pour votre aide.
2b
Pour E(x) = 0, soit:
(n²-13n+30)/[(n+6)(n+5)] = 0
(n²-13n+30) = 0
(n-3)(n-10) = 0
Le jeu est équitable si n = 23 et n = 10
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2c)
Jeu défavorable si (n²-13n+30)/[(n+6)(n+5)] < 0
Comme le dénominateur de (n²-13n+30)/[(n+6)(n+5)] est > 0, le jeu est défavorable si n²-13n + 30 < 0.
Soit si n est dans ]3 ; 10[
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3)
a)
Pn = 1 - proba 2 de la même couleur.
Pn = 1 - (6*5/((n+6)(n+5))) - (n(n-1)/((n+6)(n+5))
Pn = [(n+6)(n+5)-30-n(n-1)]/((n+6)(n+5))
Pn = (n²+11n+30-30-n²+n)/((n+6)(n+5))
Pn = 12n/((n+6)(n+5))
---
Pn = 12n/((n+6)(n+5))
Pn = 12n/(n²+11n+30)
(Pn)' = 12.(n²+11n+30-n.(2n+11))/(n²+11n+30)²
(Pn)' = 12.(n²+11n+30-2n²-11n)/(n²+11n+30)²
(Pn)' = 12.(-n²+30)/(n²+11n+30)²
(Pn)' a le signe de 30-n²
(Pn)' > 0 pour n dans [0 ; V30[ --> Pn est croissante. (V pour racine carrée).
(Pn)' = 0 pour n = V30
(Pn)' < 0 pour n dans ]V30 ; oo[ --> Pn est décroissante.
Pn est max pour n = V30 = 5,4...
Comme n est entier, Pn est max pour n = 5 ou n = 6
P(5) = 60/(11*10) = 6/11
P(6) = 72/(12*11) = 6/11
Donc Pn est max pour n = 5 et n = 6 et on a P(max) = 6/11.
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Sauf distraction. 
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