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probabilite
bonjour,
j ai un dm à rendre pour la rentrée mais j'ai des problèmes
on dispose de 3 urnes U1 U2 U3 contenant des boules indiscernables au toucher
U1 contient k boules rouges et 2 boules noires
U2 contient 2 boules rouges et 1 boule noire
U3 contient 3 boules noires
on tire une boule au hasard dans U1 et on la place dans U2 puis on tire une boule au hasard dans U2 et on la place dans U3 . on tire enfin au hasard une boule de U3
l'ensemble de ces 3 opérations constituent l'experience aléatoire
pour i appartenant à (1 2 3 ) on noe Ri et Ni les evenements
Ri : on a tiré une boule rouge dans l urne Ui
Ni : on a tire une boule noire dans l urne Ui
1a) calculer p(R1) et p(N1)
mes resulats
p(R1)=k/k+2
p(N1)=2/k+2
1b) calculer p(R1interR2interR3) en fonction de k
p(R1interR2interR3)= k/k+2x3/4x1/4=3k/16(
k+2)
1c) caculer p(R3) en fonction de k
p(R3)=p(R1interR2interR3)+p(N1interR2interR3)
p(R3)=3k/16(k+2)+2/k+2x1/2x1/4
1d) montrer que R1 et R3 ne son pas independants quelle que soit la valeur de k
je pense qu'il faut montrer que p(R1interR3) est different de p(R1)xp(R3) mais je ne vois pas comment calculer p(R1interR3)
2)on considère que k=2 et que la boule placee dans l urne U3 est replacee dans l urne U1
2a) sachant que la boule prelevee dans U3 et arrivant dans U1 est rouge quelle est la probabilite que la boule initialement tiree dans U1 ait ete rouge ?
je ne vois pas...
2b)determiner la probabilite de l evenement
I: la composition des urnes U1 et U3 est inchangee a l issue de l experience aleatoire
je ne vois pas non plus
merci d avance pour vos reponses
salut
pour P(R3) j'ecrirais ceci :
P(R3)= P(R3/R2).P(R2) + P(R3/N2).P(N2) ici
P(R3/R2 )= 1/4
P(R3/N2) = 0
donc P(R3)= 1/4.P(R2)
P(R2) peut etre calculé de la meme facon :
P(R2) = P(R2/R1).P(R1) + P(R2/N1).P(N1) = 3/4*k(k+2) + 2/4*2(k+2) = (3k+4)/(k+2)
donc P(R3) = 1/4.(3k+4)/(k+2)
j'ai fais quelques erreurs de calcul vers la fin désolé
P(R2) = P(R2/R1).P(R1) + P(R2/N1).P(N1) = (3/4)*k/(k+2) + (2/4)*2/(k+2) =
(3k+4)/4.(k+2)
donc P(R3)= (3k+4)/16.(k+2).
on cherche ensuite P(R1/R3) = P(R1
R3)/P(R3)
reste à calculer P(R1R3)
on a P(R3) = P(R3R1)+P(R3N1)
qui s'ecrit aussi
P(R3)= P(R3/R2).[P(R2/R1).P(R1) + P(R2/N1).P(N1)] =
P(R3/R2).P(R2/R1).P(R1) + P(R3/R2). P(R2/N1).P(N1)
la partie P(R3/R2).P(R2/R1).P(R1) vaut P(R1R3) et vaut
1/4*3/4*k/(k+2) = 3/16*k/(k+2) donc
P(R1R3) = 3/16*k/(k+2)
alors P(R1/R3)= [3/16*k/(k+2) ]/[(3k+4)/16.(k+2)] = 3k/(3k+4).
on peut retrouver ce resultat en calculant les sorties suivantes
R1 , R2 ,R3 --> k/(k+2)*3/4*1/4
R1 , N2 ,R3 --> k/(k+2)*1/4*0
N1 , R2 ,R3 --> 2/(k+2)*1/2*1/4
N1 , N2 ,R3 --> 2/(k+2)*1/2*0
il suffit ensuite de caluler le rapport suivant
(k/(k+2)*3/4*1/4) /( (k/(k+2)*3/4*1/4 + 2/(k+2)*1/2*1/4))= 3k/(3k+4)
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