Bonjour tous le monde,

J'ai un DM sur les probabilité et j'ai réussi les deux premiers exercices mais je n'arrive pas à faire le dernier. Voici l'énoncé.


Exercice C :

On étudie le trajet d'une mouche qui se déplace entre trois sucreries notées A, B et C. On note n le nombre de minutes écoulées depuis l'instant n=0.
A l'instant n=0, la mouche est en A.

Pour tout entier naturel n :
- si, à l'instant n, la mouche est en A, alors à l'instant (n+1), elle est :
  - ou bien en B avec une probabilité égale à 1/3.
  - ou bien en C avec une probabilité égale à 2/3.
- si, à l'instant n, la mouche est en B, alors à l'instant (n+1), elle est :
  - ou bien en C, ou bien en A et ce de façon équiprobable.
- si, à l'instant n, la mouche est en C, alors elle y reste.

On note A(n) (respectivement A(n) et C(n) ) l'évènement "à l'instant n la mouche est en A" (respectivement en B et C).

On note a(n) (respectivement b(n) et c(n) ) les probabilités respectives des évènements A(n), B(n) et C(n).

On a donc : a0=1 et b0 = c0 = 0.

Pour traiter l'exercice on pourra s'aider d'arbres pondérés.

1) Calculer a(k), b(k) et c(k) pour tout entier k tel que 1 <(ou égal) k <(ou égal) 3.  Cette question j'ai trouvé.

2a: Pour tout entier naturel n, montrer que :

a(n)+b(n)+c(n)=1 et

a(n+1)= (1/2)x(b(n)
b(n+1)= (1/3)x(a(n)).

2b : Montrer que, pour tout entier naturel n , a(n+2) = (1/6)x(a(n)).

2c : En déduire par récurrence que l'on a :

Pour tout entier naturel p,
a(2p) = (1/6)^p et a(2p+1)=0
b(2p) = 0 et b(2p+1) = (1/3)x(1/6)^p.

3a : Soit n un entier naturel; montrer que l'on a :
a(n) <(ou égal) (1/V6)^n et b(n)<(ou égal) (1/V6)^n

3b : Déterminer les limites des trois suites a(n), b(n) et c(n) puis conclure.


Je vous remercie d'avance pour votre précieuse aide!
Merci

PS : V = racine.