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Probabilité
Bonjour,
Chaque jour, un allumeur de réverbère se demande s'il va allumer ou éteindre son réverbère:
- s'il est allumé, il l'éteint avec une proba de 0.3
- s'il est éteint, il l'allume avec une proba de 0.5
Pour tout entier n strictement positif, on note An, l'évènement suivant: " le réverbère est allumé le n-ième jour" et on pose pn=p(An)
Le premier jour, le réverbère est allumé. On a donc p1=1
1. Quelle est la probabilité p2 que le réverbère soit allumé de deuxième jour ?
2. Traduire les deux données de l'énoncé en termes de probabilité.
3.a) Exprimer p(An+1 
An) et p(An+1 An (barre)) en fonction de pn
b) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n, pn+1=(1/10)pn + (3/5)
4) (Un) est la suite définie pour tout naturel non nul n par : Un=pn - (2/3)
a) Démontrer que (Un) est géométrique.
b) En déduire l'expression de Un puis celle de pn en fonction de n.
5) Si l'allumeur de réverbère continue éternellement son travail, le réverbère aura-t-il plus de chance d'être éteint ou allumé? Justifier.
Voila mes réponses :
1) p2=0,7
2) pAn(Anbarre)=0,3 et
pAn barre (An)=0,7
3.a) pas réussi
b) j'ai réussi à démontrer
4) Un= pn- (2/3)
donc Un+1= pn+1 - (2/3)
= (1/10)pn + (3/5)-(2/3)
= (1/10) pn - (1/15)
Je suis bloquée pour trouver un facteur commun
Pour le reste je n'ai pas réussi...
Merci de votre aide !
bonsoir
je n'ai pas encore fait les questions précédentes;
juste pour te débloquer :
4) on factorise 1/10
...
= (1/10)pn - 1/15
= (1/10) ( pn - 2/3) ---- 2/3 * 1/10 = 1/15
= (1/10) Un --- géométrique de 1er terme ...? et de raison ...?
b) En déduire l'expression de Un puis celle de pn en fonction de n.
Un : utilise la formule explicite du cours,
qui permet d'exprimer le terme Un d'une suite géométrique directement en fonction de n
pn :
Un=pn - (2/3) 
pn = Un + (2/3)
puis utilise le résultat précédent
5) pense à la limite de la suite ...
Bonjour,
3.a) je trouve
p(An+1An) = pn(pn+1) * pn
et p(An+1Anbarre) = (1-pn(pn+1)) * (1-pn)
b) j'ai fais :
pn+1= p(An+1) = p(An+1An) + p(An+1Anbarre)
= (0.7 * 0.7) + (0.3 * 0.6)
= 0,67
or (1/10) pn = 0.1 * 0.7 = 0.07
et (1/10) pn + (3/5) = 0.67
Donc pn+1= (1/10) pn + (3/5)
4.a) Le suis est géométrique de premier terme (1/10) Un ?? je ne sais pas trop la
et de raison (1/10)
b) pn= Un +(2/3)
pn+1 = Un+1 +(2/3)
pn+1 = (1/10) Un +(2/3)
après je ne vois pas quoi faire...
5) je fais donc la limite de p(An) en +
et la limite de p(Anbarre) en + ??
Merci pour votre aide !!
4.a) suite géométrique de premier terme U1 = p1 - 2/3 = ....?
et de raison q = (1/10) --- oui
b) tu n'as pas bien lu ce que j'ai écrit 
cours : formule explicite du terme général d'une suite géom. de premier terme d'indice 1 :
Un = U1 * qn
ce qui devient ici ...?
pour pn, voir le 28-02-16 à 20:30
5) suite de la suite pn (donc pour n tend vers +),
en utilisant le résultat du 4b)
pn est la proba que le réverbère soit allumé... quelle réponse tu vas donner à la question posée?
----
en revanche, la question 3b) me laisse perplexe... (pas convaincue par ton explication, désolée)
le problème c'est que je ne retrouve pas du tout cet énoncé-là :/
j'ai fait une petite recherche : j'ai trouvé ton exo, mais en 3b) et 4), l'énoncé est différent, et correspond à ce que moi, je trouve 
en clair : avec TON énoncé, tel qu'il est, je ne peux pas t'aider pour la 3b),
ni pour la 3a) : a) et b) sont liées,
pn+1= p(An+1) = p(An+1An) + p(An+1Anbarre)
je suis juste d'accord avec toi sur ça
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