Un jardinier a planté 15 citronniers au printemps.Il estime que chacun d'entre eux a une probabilité de 60% de passer le premier hiver, indépendamment des autres.

1) Soit X le nombre de citronniers qui passera l'hiver, quelle est la loi de X ?

2) 5 citronniers viennent d'Espagne, et 10 du Maroc.Le jardinier observe que parmi les citronniers ayant passé l'hiver, 70% viennent du Maroc.
Déduisez-en la probabilité qu'un citronnier passe l'hiver sachant qu'il vient d'Espagne?

3) L'année suivante, le jardinier rachète 15 citronniers au hasard, il sait juste que chaque citronnier a 2 chances sur 3 de venir du Maroc.
Soit Z le nombre de citronniers qui viennent du Maroc et qui passent l'hiver.
Quelle est la loi de Z?

1) X suit la loi Binomial de paramètre n=15, et p=0,6

2) Avec la loi de Bayes:
Notons les événement suivant:
M: "provenance du Maroc"
E: "provenance d'Espagne"
H: "probabilité de passer l'Hiver"

P(H|E)= ( P(E|H) P(H) ) / P(E)

= ( P(E|H) P(H) ) / P(E|H) P(H) + P(E|H^c) P(H^c)

= (0,3 . 0,6) / ( 0,3 . 0,6 + 0,7 . 0,4) =0,39
la probabilité est de 39%

3) Z suit la loi géométrique de paramètre p=2/3