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Probabilité avec un test de maladie

Posté par
EmmaM 31-03-12 à 17:02

Bonjour,

J'ai un DM de math à faire et a une des questions, je trouve une probabilité négative. C'est pour cela que je viens à vous.
Voici le sujet:

Le fabriquant d'un test pour une maladie fournit les caractéristiques suivantes:
La probabilité qu'un individu malade ait une test positif est de 0,99
La probabilité qu'un individu non malade ait un test négatif est de 0,99
On s'interresse à une "population cible" dans laquelle on veut procéder à un dépistage systématique.
Un individu est choisi au hasard dans la population.
M désigne l'évènement "l'individu est mal" et T l'évènement "l'individu a un test positif".
On pose P(M)= p

1. Trouver la probabilité de (M inter T) et (Mbarre inter T)
Moi, P(M inter T)= 0,99p et P(Mbarre inter T) = 0,01-0,01p

On définit f(p)= PT (M)     (probabilité de M sachant T)

2. Etudiez les variations de la fonction f sur [0;1]
J'ai trouvé f(p) = 0,009p / 0,98p+ 0,01

3. On suppose que la population est constituée d'individus présentant des symptômes évocateurs de la maladie. Dans cette population, on a p = 0,7
On doit calculer PT (M) et PTbarre (Mbarre)et comparer les résultats.
J'ai trouvé, PT (M) = environs 0,99568
Et c'est là que sa coince, pour PTbarre (Mbarre) = -1,38
Je n'ai pas fait la comparaison.

Merci beaucoup de votre aide.

Posté par
dhaltere : Probabilité avec un test de maladie 31-03-12 à 18:22

P(M inter T)= 0,99p

comment justifies-tu cette relation ?
Dans quel cas peut-on faire le produit ?

Posté par
EmmaMre : Probabilité avec un test de maladie 31-03-12 à 19:21

P(M inter T) = P(M) x PM (T)
             =   p  x 0,99
             =  0,99

C'est ça ???

Posté par
dhaltere : Probabilité avec un test de maladie 01-04-12 à 00:37

difficile de te relire
j'ai fini par comprendre que chez toi
PM(T)
était l'expression d'une probabilité conditionnelle
tu aurais pu faire une phrase, non ?
et utiliser la notation indicée, grâce aux boutons sous la fenêtre de saisie
PM(T)

pour ma part j'ai plutôt l'habitude d'utiliser la notation suivante :
p(T|M)

bon, reprenons l'exercice :

La probabilité qu'un individu malade ait une test positif est de 0,99
p(T|M)=0,99
La probabilité qu'un individu non malade ait un test négatif est de 0,99
p(\bar T|\bar M)=0,99

p(M)= p

Trouver p(M\cap T) et p(\bar M\cap T)

de p(T|M)=\frac{p(T\cap M)}{p(M)}
on déduit p(T\cap M)=0,99p

On sait que p(M)+p(\bar M)=1 et que p(T|\bar M)+p(\bar T|\bar M)=1

de p(T |\bar M)=\frac{p(T\cap\bar M)}{p(\bar M)}
on déduit p(T\cap\bar M)=0,01(1-p)
pour ça, tu as les bonnes réponses


Evaluer f(p)= p(M|T)

on sait que p(M|T)=\frac{p(T\cap M)}{p(T)}
on connaît déjà p(T\cap M), reste à évaluer p(T)
on sait que p(T\cap M) + p(T\cap \bar M)=p(T)
on en déduit p(T)=0,99p+0,01(1-p)=0,98p+0,01

et donc on a p(M|T)=\frac{0,99p}{0,98p+0,01}
donc différent de ce que tu annonçais
Probabilité avec un test de maladie

3. p = 0,7
calculer P(M|T) et p(\bar M|\bar T)
P(M|T)=\frac{0,99\times 0,7}{0,98\times 0,7+0,01}\approx 0,99569
ok pour ta valeur

Reste à évaluer p(\bar M|\bar T)
p(\bar M|\bar T)=\frac{p(\bar T \cap \bar M)}{p(\bar T)}

on sait que p(T)+p(\bar T)=1 et que p(M)+p(\bar M)=1

on sait que p(\bar M\cap T)+p(\bar M\cap \bar T)=p(\bar M)

on a donc 0,01(1-p) + p(\bar M\cap \bar T)=1-p

et donc p(\bar M|\bar T) = \frac{1-p-0,01(1-p)}{1-(0,98p+0,01)}=\frac{0,99(1-p)}{0,99-0,98p}

et en remplaçant p=0,7

p(\bar M|\bar T) \approx 0,97697

interprétation :
on peut faire confiance à Servier et à son Médiator

s'il y a une forte proportion de malades, alors le résultat du test est fortement probant quand il est positif, un peu moins quand il est négatif, il reflète avec moins de 0,5% d'erreur le malade quand il est positif et moins de 2,5% d'erreur le non malade quand il est négatif.

Posté par
EmmaMre : Probabilité avec un test de maladie 01-04-12 à 09:13

Toutes mes escuses pour la notation. J'ai beaucoup de mal ac le latex !!!

Pour la deux, j'ai trouvé le même résultat que toi sur la feuille, je me suis trompée en tapant sur mon clavier: le 0 et le 9 sont à côté !!!

Je regarde ce que t'a fait pour la trois !!!

Posté par
EmmaMre : Probabilité avec un test de maladie 01-04-12 à 09:25

Merci !

C'est bon, j'ai trouvé et compris !!
Je suis allée chercher très loin me concernant !!!

Merci beaucoup pour ton aide !!!


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