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Probabilité conditionelles et suites
Bonjour j'espere que vous allez m'aidez à comprndre ce
D.M ,j'ai des problemes car je suis nouvelle ds mon bahut.J'ai
quand meme essaye de faire quelques questions dont j'espere
vous m'expliquerez si j'ai fait des erreurs.
Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches.On en prélève
n succesivement et avec remise n etant un entier naturel superiel
à 2 .On considère les 2 evenements suivants :
A"on obtient des boules des 2 couleurs"
B"On obtient au plus une boule blanche"
1)a) Calculer la probabilité de l'evenement "toutes les boules sont
tirés sont de memes couleur"
b)Calculer la probabilite de l'evenement:"on obtient exactement 1 boule
blanche"
c) En deduire que les probabilites P(ANB )=n/2^n (N veut dire inter)
P(A)=1-1/(2^(n-1)) et P(B)=n+1/(2^n)
2)Montrer que P(AnB)=P(A)*P(B) si et seulmeent si
2^(n-1)=n+1
P(A)*P(B)=1-1/((2^n-1))*(n+1)/2^n
2^(n-1)=n+1 donc (1-1/(n+1))*(n+1)/2n
et donc c'est egale à n/2^n=P(ANB)
3)Soit (Un) la suite definie pour tout n entier naturel superier ou egal
à 2 : Un=2^(n-1)-(n+1)
Calculer U2 U3 U4 Demontrer que cette suite est croissante
je trouve U2=-1 U3=0 U4=3
4)En deduire la valeur de l'entier n tel que les evenemts A et B
soient independants.
1)a)
La proba de tirer une blanche est nbr de boules blanches sur nbr total
de boules soit 5/10=1/2
la proba de tirer n fois une blanches est donc (1/2)^n
de meme la proba de tirer n fois des boules noires est (1/2)^n
la proba de tirer que des blanches ou des noires est donc:
(1/2)^n+(1/2)^n=(1/2)^(n-1)
b) on doit tirer une blanche (p=1/2) et (n-1) noires (p=(1/2)^(n-1))
par contre tirer la blanche peut avoir lieu a un des n tirages, peut
importe lequel donc p=n*(1/2)^n
c)
B reprsentent deux cas: soit on tire que des noires p=(1/2)^n
soit on tire exactement une blabche ce qu'on vient de calculer donc
p(B)=n*(1/2)^n+(1/2)^n=(n+1)(1/2)^n
pour A c'est l'evenemnt opposé de a) donc p(A)=1-p
p(A)=1-(1/2)^(n-1)
AnB ca veut dire A et B se realisent or Si A et B se réalisent c'est
seulement si on a tiré exactement une blanche , c'est la proba
de b)
p(AnB)=n/2^n
2)
p(AnB)=P(A)p(B) ssi:
n/2^n=[1-(1/2)^(n-1)] [(n+1)/2^n]
on multipli par 2^n:
n=(1-(1/2)^(n-1))(n+1)
n=n+1-(n+1)/2^(n-1)
(n+1)/2^(n-1)=1
soit
(n+1)=2^(n-1)
c bien ce qu'on voulait!
3)
U2=-1
U3=0
U4=3
pour voir que c croissant on fait u(n+1)-Un
=2^(n)-(n+2)-2^(n-1)+(n+1)
=2^(n-1)[2-1]-1
=2^(n-1)-1
c positf pour n>=2
donc u(n+1)>un la suite croit
4)
A et B sont independants si
p(AnB)=P(A)p(B)
ce qui implique 2^(n-1)=(n+1)
ce qui implique Un=0
et on a vu que c pour n=3 que U3=0
donc pour n=3 A et B sont independants
A+
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