bonjour
Il s'agit d'un exo de probas, j'ai fait quelques questions,
j'aimerais votre avis dessus. Et puis il y a des questions sur
lesquelles je bloque, pourriez-vous m'aider svp???(la méthode,
pas forcément les réponses)

Deux joueurs A et B conviennent du jeu suivant, qui se présente comme
une succession de "parties".
-au départ, A et B misent chacun 1euro et lancent chacun une pièce parfaitement
équilibrée (c'est-à-dire amenant avec une égale probabilité
soit pile soit face).
-si A amène pile et B face, le jeu s'arrête, A gagne et récupère
les mises des 2 joueurs
-si B amène pile et A face, le jeu s'arrête, B gagne et récupère
les mises.
-dans les autres cas, la partie est nulle, les joueurs doublent la mise
et engagent une nouvelle partie
Et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'il y ait un gagnant ou que
la vingtème partie s'achève sur un nul (auquel cas les joueurs
récupèrent leurs mises réspectives).
Pour tout entier n de 1 à 20, on considère les événements:
An (A indice n en fait) "le jeu se termine à la n-ième partie par le
gain de A"
Bn "le jeu se termine à la n-ième partie par le gain de B"
Nn "la n-ième partie est une partie nulle"
On pose: xn=p(An); yn=(Bn); zn=p(Nn) (avec n toujours en indice)

1)a) Calculer x1,y1 et z1.
J'ai dit qu'il y a 4 événements possibles:
-soit A tombe sur pile et B sur face
-soit B tombe sur pile et A sur face
-soit A et B tombent sur face
-soit A et B tombent sur pile
donc x1=1/4 ; y1=1/4 ; z1=1/2
b)Montrer que, pour tout entier n et 1 à 19 on a:
x(n+1)=(1/4)zn ;y(n+1)=(1/4)zn et z(n+1)=(1/2)zn (n+1 en indice)
J'ai dit pour la première expression à démontrer que pour une n-ième partie
la probabilité que A gagne est 1/4 et que s'il y a une n-ième+1
partie c'est qu'à la n-ième la partie était nulle donc
on tombe sur zn. J'ai fai la même chose pour les 2 autres expressions
à prouver. Est-ce que c'est bon?
c)En déduire que, pour n entier de 1 à 20:
xn=(1/2)exposant(n+1)
yn=(1/2)exposant(n+1)
zn=(1/2)exposant n
Par contre je n'arrive pas à faire cette question... aidez-moi svp!!!


2)On considère la variable aléatoire X:"nombre d'euros mis en jeu
lors de la partie qui conclut le jeu", c'est-à-dire récupérés
par le gagant ou partagés entre les 2 joueurs, dans le cas où le
jeu s'achève sur un nul.
Si le jeu s'achève à la k-ième partie, on a ainsi: X=2exposant
k
a)Donner l'expression numérique de la plus grande valeur que peut prendre
X.
Là j'ai dit que c'est 2exposant20 (c'est bon?).
b)Calculer p(X=2exposant20)
c)Pour k entier de 1 à 19, exprimer l'événement "X=2exposant k" à
l'aide des événement Ak (A indice k) et Bk (B indice k)
En déduire p(X=2exposant k)
d)Calculer l'espérance mathématique de X.
Là c'est sur les b) et c) que je coince... je pense pouvoir faire
le d).