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Probabilité de tirage de dominos

Posté par
f066457 21-02-06 à 02:37

Bonjour.

Voici un problème que je n'arrive pas à résoudre:

Je possède un sac contenant une infinité de jeux de dominos.
A savoir, un jeu de dominos contient 28 dominos différents.
Je tire 104 dominos au hasard dans le sac, sans remise.
Quelle est la probabilité pour que j'ai en ma possession les 28 dominos d'un jeu normal.

Merci d'avance à mon sauveur

Posté par Torpedo (invité)re : Probabilité de tirage de dominos 23-02-06 à 19:57

Salut f066...,

Voici ce que je pense etre la solution, tu me diras ce que tu en penses.

L'idee est de chercher la probabilite d'avoir un tirage qui n'est pas solution du probleme. Si on note Ai l'ensemble des tirages qui ne contiennent pas le domino "i" (i entre 1 et 28), la probabilite d'avoir un tirage qui ne comporte pas un jeu complet est p\(\bigcup_{i}A_{i}\). Tu as du voir la formule (en fait, c'est un axiome) : p\(A\cup B\)= p\(A\) + p\(B\) -p\(A\cap B). Elle se generalise pour n ensembles : voir la formule (17) sur ce lien .

En appliquant la formule, on voit apparaitre des p\(A_i\cap A_j\cap A_k\cap ...\) qui correspondent a la probabilite d'avoir un tirage sans les dominos i, j, k, ... Ces probabilites sont egales a \(\frac{27}{28}\)^{104}, \(\frac{26}{28}\)^{104}, ..., \(\frac{1}{28}\)^{104} en fonction du nombre de dominos qu'on ne veut pas. Au final, j'arrive a la formule suivante, solution du probleme:

P = 1 - C_{28}^1.\(\frac{27}{28}\)^{104} + C_{28}^2.\(\frac{26}{28}\)^{104} - ... + C_{28}^{26}.\(\frac{2}{28}\)^{104} - C_{28}^{27}.\(\frac{1}{28}\)^{104}

Une application numerique sous Excel me donne P = 0.50950894
. Donc approximativement une chance sur deux

A++



Posté par
f066457re : Probabilité de tirage de dominos 01-03-06 à 04:46

Merci, merci et encore merci !!!

Je m'incline devant ton savoir et surtout sur la clarté de tes explications.

Posté par Torpedo (invité)re : Probabilité de tirage de dominos 02-03-06 à 13:52

De rien, si j'ai pu t'aider c'est l'essentiel. J'ai trouvé le problème intéressant ! Par curiosite, où l'as-tu trouvé ??

A++

Posté par
f066457re : Probabilité de tirage de dominos 03-03-06 à 02:41

Je l'ai trouvé sur ce super site d'énigmes : http://www.2enigmatik4u.com
Le principe est simple: chaque fois que tu trouves une énigme, tu passes à la suivante et le forum est là pour poser les questions.
Toutes les énigmes ne sont pas mathématiques, mais depuis peu, il y a quelques probas et malheureusement, les probas c'est pas mon dada
En plus des énigmes du site, il y a énormément d'énigmes des membres et il est possible d'en créer soi même et de résoudre celles des autres.

Bref, j'adore et je conseille d'essayer !!!


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