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Probabilité de transmission de message

Posté par
viziwi
15-08-22 à 19:27

** Bonjour**

Un message est transmis à travers des canaux successifs. La probabilité que le message soit transmis correctement d?un opérateur à un autre est p, avec 0 < p < 1.
Pour n dans N, soit Zn la probabilité pour que le n-ième opérateur reçoive un message correct.
On a Z1 = 1.
Justifier, pour n>0 : Zn+1 = p * Zn + (1 ? p)(1 ? Zn)

Posté par
carpediem
re : Probabilité de transmission de message 15-08-22 à 19:55

salut

tu peux remarquer que 1 - p et 1 - zn sont les probabilités des événements contraires des événements ... et ...

alors en lisant correctement cette formule et en traduisant avec des événements adéquats tu devrais pouvoir répondre à la question.

n'y aurait-il pas indépendance entre les différents opérateurs ? (l'énoncé est-il complet ?)

Posté par
ty59847
re : Probabilité de transmission de message 15-08-22 à 20:57

L'énoncé est-il complet ?  réponse : non.

Oublie la dernière ligne de l'énoncé (montrer que ... ...)
Et remplace-là par : Calculer Zn+1 en fonction de Zn

Et tu vas en déduire toi-même que la formule proposée est fausse, si tu es un élève moyen/plus. Et peut-être même que tu vas trouver toi-même ce qu'il y avait dans l'énoncé correct.

Posté par
viziwi
re : Probabilité de transmission de message 15-08-22 à 21:13

carpediem @ 15-08-2022 à 19:55

salut

tu peux remarquer que 1 - p et 1 - zn sont les probabilités des événements contraires des événements ... et ...

alors en lisant correctement cette formule et en traduisant avec des événements adéquats tu devrais pouvoir répondre à la question.

n'y aurait-il pas indépendance entre les différents opérateurs ? (l'énoncé est-il complet ?)


Bonjour carpediem
Je te remercie pour ton message
oui l'énoncé est complet. On va supposer que chaque opérateur est indépendant

la formule est : Zn+1 = p * Zn + (1 - p)(1 - Zn)

effectivement, 1-p : proba de que le message ne soit pas transmis correctement
1-Zn  : proba que l operateur n ne recoive pas un message correct

ce que je ne saisis pas est pourquoi ces 2 aspects s additionnent.
j aurais pensé "naivement" que Zn+1 = pZn
pourquoi donc additionnons nous l autre partie qui correspond au cas ou cela ne soit pas transmis correctement

Posté par
ty59847
re : Probabilité de transmission de message 15-08-22 à 22:49

Si l'énoncé est complet, tu as totalement raison, Zn+1 = pZn, et il ne faut rien ajouter.

Il y a donc une erreur dans l'énoncé.
Et il y a peu de chose à changer, pour que la bonne formule devienne celle qui est proposée.
Ce n'est pas hyper-simple, mais tu peux trouver.
Certes, c'est un autre exercice, l'exercice ne demande pas qu'on corrige une erreur d'énoncé.
Mais c'est un petit challenge intéressant.

Posté par
viziwi
re : Probabilité de transmission de message 16-08-22 à 09:41

Bonjour ty59847

Merci pour ton retour

Mais l'énoncé est donné ainsi :/ avec le second bout (1-p)(1-Zn) dans Zn+1

Posté par
carpediem
re : Probabilité de transmission de message 16-08-22 à 09:55

comment peut-on interpréter en français ce produit (1 - p)(1 - zn) ?

Posté par
viziwi
re : Probabilité de transmission de message 16-08-22 à 10:16

Je dirais : la probabilité que l'opérateur « n » ait recu un message incorrect transmis de maniere incorrecte par un autre opérateur.

Posté par
ty59847
re : Probabilité de transmission de message 16-08-22 à 12:23

Voivi un nouvel énoncé.
J'ai mis en gras les quelques mots ajoutés par rapport à l'énoncé original.

Un message de type VRAI/FAUX est transmis à travers des canaux successifs. La probabilité que le message soit transmis correctement d'un opérateur à un autre est p, avec 0 < p < 1.
Pour n dans N, soit Zn la probabilité pour que le n-ième opérateur reçoive un message correct.
On a Z1 = 1.
Justifier, pour n>1 : Zn+1 = p * Zn + (1 - p)(1 - Zn)

Maintenant, l'énoncé est correct.
A toi de jouer.

Posté par
viziwi
re : Probabilité de transmission de message 16-08-22 à 14:38

ty59847 @ 16-08-2022 à 12:23

Voivi un nouvel énoncé.
J'ai mis en gras les quelques mots ajoutés par rapport à l'énoncé original.

Un message de type VRAI/FAUX est transmis à travers des canaux successifs. La probabilité que le message soit transmis correctement d'un opérateur à un autre est p, avec 0 < p < 1.
Pour n dans N, soit Zn la probabilité pour que le n-ième opérateur reçoive un message correct.
On a Z1 = 1.
Justifier, pour n>1 : Zn+1 = p * Zn + (1 - p)(1 - Zn)

Maintenant, l'énoncé est correct.
A toi de jouer.



Merci ty59847 pour ce nouvel énoncé

Sur le moment, je t'assure, je ne comprenais pas ce que venait changer la donne cette histoire de message vrai/faux

mais.... je crois avoir pigé maintenant

supposons que le bon message soit "V"
l operateur "n" peut recevoir "V" ou "F" (mal transmis)
il peut bien transmettre le bien recu "V" à On+1 (pZn) ou mal lui transmettre "F" (1-p donc) qu'il avait mal recu  (donc (1-p)(1-Zn))

donc Zn+1 = pZn + (1-p)(1-Zn)

Est-ce bien cela ?

Posté par
ty59847
re : Probabilité de transmission de message 16-08-22 à 14:52

C'est exactement cela.
Si j'envoie un message 'normal', de Z1 à Z2 puis Z3 etc
Si un des intermédiaires Zi a mal reçu le message , et s'il y a à nouveau un problème de transmission après Zi, normalement, le message sera encore plus erroné.
J'ai mal au cou
devient J'ai mal au col
et avec une nouvelle erreur, ça devient par exemple J'ai mal au cil
Par exemple.

Mais si le message est de type 'Vrai/Faux', 2 erreurs successives s'annulent forcément, et on tombe sur la formule proposée par l'exercice.

Posté par
ty59847
re : Probabilité de transmission de message 16-08-22 à 14:55

On a donc la confirmation que l'énoncé était incomplet.
On sait la formule pour l'énoncé proposé, et on sait ce qui manque dans l'énoncé pour que la formule proposée soit correcte.
La boucle est bouclée.

Posté par
carpediem
re : Probabilité de transmission de message 16-08-22 à 15:19

oui !

moi aussi j'étais parti dans "la règle des signes" ... : fausser une erreur et ça devient exact

mais le pb c'est qu'il y a tellement de façons de fausser une erreur que la seule façon qu'elle se corrige c'est qu'on dans un truc binaire !!

Posté par
viziwi
re : Probabilité de transmission de message 16-08-22 à 15:58

eh oui

Franchement cela ne m'aurait même pas effleuré l'esprit l'utilité de la partie "V/F" du message.

Maintenant qu'elle a été bien mise en exergue, la solution est venue naturellement



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