Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Probabilité : Conditionnement - IndépendanceTopics traitant de Probabilité : Conditionnement - Indépendance [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Probabilité et dénombrement terminale

Posté par BelleAurélie (invité) 25-11-04 à 21:31

Bonsoir,

Pouvez-vous m' aider à résoudre ce problème :
Je n' arrive à rien faire.
Merci pour tout et merci pour votre site.


I) Un assortiment de lames calibrées destinées à des mesures précises d'épaisseur comprend 40 pièces repérées par un numéro de référence. Les
effectifs des différents  numéros sont donnés dans le tableau suivant.

Numéro 1 2 3 4 5
Effectif 7 8 13 6 6

Les 40 lames de l'assortiment sont disposées en vrac dans une boîte

1°) On sort une à une les différentes lames pour les classer.
Combien y a-t-il  d'ordres de sortie distincts?

2°) Combien y a t'il d'ordres de sortie des différents numéros ?

3°) Dans les conditions initiales, on sort deux lames.
    3.a. combien y a-t-il de possibilités différentes compte non tenu de l'ordre?
    Même question, mais en tenant compte de l'ordre.

   3.b. compte tenu de l'ordre, combien y a t'il de cas différents de sortie  de  numéros?

     3.c. On désire une lame portant le numéro 1.    
      Déterminer :
       -  Le nombre de cas (n) ou les deux portent le numéro 1
       - Le nombre de cas (n') ou une des lames porte le numéro 1
       - Le nombre de cas (n'')ou aucune des lames ne porte le numéro 1

Quelle vérification peut on faire en calculant le nombre n+n'+n''?


II) Une pièce est usinée successivement par des machines M1 et M2; les
résultats des deux usinages sont indépendants.

Après passage dans les première machine M1, 5% des pièces présentent un
défaut. On note A l'événement: « la pièce est défectueuse après passage dans
M1 ». Après passage dans la deuxième machine M2 (et quel que soit leur état
après passage dans M1), 2% des pièces présentent un autre défaut. On note B
l'événement: « la piéce est défectueuse après passage dans M2 ». On extrait
au hasard une piéce parmi les pièces ayant subi les deux usinages

1. Déterminer les probabilités des événement A et B
Exprimer, à l'aide des événements A et B, les évènements suivants:

C: la pièce est défectueuse pour les deux usinages par M1 et M2
D: la pièce est  défectueuse
E: la pièce ne présente aucun défaut

3. calculer les probabilités des événements C, D et E

4. Sachant que la pièce extraite est défectueuse, calculer la probabilité que la pièce présente des défauts d'usinage par les deux machines.

5. Exprimer, à l'aide des événement A et B, l'événement: « le défaut
provient uniquement de la machine M2 » puis calculer sa probabilité que le  défaut provienne uniquement de la machine M2 sachant que la pièce est
défectueuse.


III) Dans une fabrication de N pièces, il y a K pièces défectueuses. On
prélève, au hasard et sans remise, un échantillon de n pièces.

1. On prélève une seule pièce (n=1)  Calculer la probabilité qu'elle soit
défectueuse

2.On suppose, dans la pratique, que N est très supérieur à n, et que n est
supérieur ou égal à k (n k)
Calculer:

2-a la probabilité (P0) de n'avoir aucune pièce défectueuse dans le lot.
2-b la probabilité (Pl) d'avoir une pièce défectueuse dans le lot
2-c la probabilité (Pq) d'avoir q pièces défectueuse dans le lot
2-d la probabilité (Pk )d'avoir toutes les pièces défectueuses dans le lot.

Application numérique: N=20 k=3 n=5. Calculer P0, P1 et Pk


Posté par BelleAurélie (invité)¨Pas d aide !! 26-11-04 à 10:17

Bonjour,

Personne ne m' a répondu.
Pouvez-vous m' aider svp ?

Merci

Posté par BelleAurélie (invité)Qui peut m aider sur ce forum ? 26-11-04 à 11:29

Bonjour,

Qui peut m' aider sur ce forum ?

Personne ne m' a répondu, pourtant c'est un exercice de terminale.
En outre, il n' y a jamais eu d'animations new sur ma question !
Est-ce que vous filteriez les sujets suivants vos réponses !

Si personne n'est capable de répondre, dite-le moi au moins, cela m' évitera d' attendre ad eternam une réponse en vain.

Merci donc d' avoir l' obligeance de me répondre.

Posté par LNb (invité)re : Probabilité et dénombrement terminale 26-11-04 à 17:45

Bonjour

non, non, pas d'ostracisme sur ce forum...
il se trouve que ton sujet est trop long et que cela doit faire reculer ceux qui donnent une solution complète

Quant à ceux qui, comme moi, ne donnent que des indications, on ne sait quelle indication te donner car  on ne sait pas ce que tu as fait ni les questions qui te posent problème...

juste pour te donner du courage

1. 40! sorties possibles

2.J'utilise la notation officielle (p parmi n) pour C(n;p)
(7 parmi 40) manière de placer les 1
ensuite
(8 parmi 33) manières de placer les 2 dans les places restantes
etc.
(7 parmi 40)(8 parmi 33)(13 parmi 25)(6 parmi 12)(6 parmi 6) ordres possibles des numéros

le 3 est réalisable ... propose tes essais ou pose des qustions précises

Bon courage

Posté par
Belge-FDLEre : Probabilité et dénombrement terminale 27-11-04 à 16:46

Salut BelleAurélie ,

Je vais tenter de t'aider de mon mieux .
Pour les deux questions, comme LNb l'a très justement dit, on a :

Exercice I

1) On sort une à une les lames pour les classer. Combien y-a t'il d'ordres de sorties distincts ?
On a 40 lames, lorsque qu'on tire la première, on a 40 possibilités, puis lorsqu'on tire la seconde, on a plus que 39 possibilités et ainsi de suite jusqu'à avoir tirer les 40 lames. On en déduit facilement que l'on a un total d'ordres de sorties distincts égal à :

2$\rm~40!


2) Combien y a-t'il d'ordres de sorties des différents numéros.
Ici, on peut faire à la manière de LNb, c'est-à-dire en utilisant plusieurs fois la formule de combinaison  2$\rm~(^{n}_p), ou alors, ce que je pense plus simple, est de diviser 40! (obtenu à la question précédente) par le nombre de permutations possibles pour chacun des groupes (un peu comme pour les anagrammes, si tu as déjà fait des exos dessus).
* Dans le groupe 1, il y a un effectif de 7, donc 7! permutations possibles.
* Dans le groupe 2, il y a un effectif de 8, donc 8! permutations possibles.
* Dans le groupe 3, il y a un effectif de 13, donc 13! permutations possibles.
* Dans le groupe 4, il y a un effectif de 6, donc 6! permutations possibles.
* Dans le groupe 5, il y a un effectif de 6, donc 6! permutations possibles.

On a un donc un nombre d'ordres différents de sorties des différents numéros égal à :

2$\rm~\frac{40!}{7!8!13!6!6!}


3) Dans les conditions initiales, on sort deux lames.
a - Combien y-a-t'il de possibilités différentes sans tenir compte de l'ordre. Même question, en tenant compte de l'ordre.
Si on ne tient pas compte de l'ordre, il suffit d'utiliser la formule des combinaisons. Le nombre de possibilités correpondant au nombre de combinaisons de 2 objets parmis 40. On a donc :

2$\rm~(^{40}_2)~=~\frac{40!}{38!2!}~=~\frac{40\times39}{2}~=~20\times39~=~780 possibilités sans tenir compte de l'ordre.

On en déduit facilement que l'on aura deux fois plus de possibilités en tenant compte de l'ordre, c'est-à-dire 1560 possibilités en tenant compte de l'ordre.

b - Compte tenu de l'ordre, combien y a-t'il de cas différents de sorties de numéros ?
Il y a 5 numéros, et il est possible de tirer deux lames portant le mêmes numéros (et ce pour toutes les catégories, puisque toutes ont un effectif supérieur à 2 ). Ainsi, au premier tirage, on peut tirer 5 numéros différents, et au second également, ce qui nous fait un total de 25 cas différents de sorties de numéros (non équiprobables bien sûr, en raison des différents effectifs).

c - On désire une lame portant le numéro 1. Déterminer :
- Le nombre de cas (n) ou les deux portent le numéro 1 (*)
- Le nombre de cas (n') ou une SEULE des lames porte le numéro 1 (**) [Je pense que tu avais oublié le mot seul, qui est loin d'être anodins, surtout pour la vérification qui suit]
- Le nombre de cas (n'')ou aucune des lames ne porte le numéro 1 (***)
Tout d'abord, il faut se rappeler que le groupe 1 a un effectif de 7.

* Pour que les deux lames portent le numéro 1, il faut que la première tirée soit de la catégorie 1 (7 possibilités) et que la deuxième également (plus que 6 possibilités car on vient de tirer une lame de la categorie 1). On a donc :
2$\rm~n~=~6\times7~=~42

** Pour qu'une seule lame porte le numéro 1, il faut que le premier tirage donne une lame de la catégorie 1 (7 possibilités) et que le second donne une lame qui soit de n'importe quelle catégorie mais pas de la 1 (33 possibilités) OU que le premier tirage donne une lame qui ne soit pas de la catégorie 1 (33 possibilités) et que le second donne une lame de la catégorie 1 (7 possibilités). On a donc :
2$\rm~n'~=~2(7\times33)~=~2\times231~=~462

*** Pour qu'aucune des deux lames ne porte le numéro 1, il faut que ni le premier tirage ne donne de lames de la catégorie 1 (33 possibilités), ni le second (32 possibilités). On a donc :
2$\rm~n''~=~33\times32~=~1056

Pour ce qui est de la vérification, il suffit de voir si on a bien :  2$\rm~n+n'+n''~=~1560  (1560 étant le nombre de possibilités de tirages en tenant compte de l'ordre, déterminé à la question 3)a) ).
Ici, c'est bien le cas, tout indique que notre résultat est cohérent et semble juste .



Exercice II

Une pièce est usinée successivement par des machines M1 et M2. Les résultats des deux usinages sont indépendants.
Après passage dans M1, 5% des pièces présentent un défaut. En notant A l'évènement : "la pièce est défectueuse après son passage dans M1", on a :
2$\rm~p(A)~=~5%~=~\frac{1}{20}
Après passage dans M2, 2% des pièces présentent un autre défaut défaut (indépendemment de leur état après passage en M1). En notant B l'évènement : "la pièce est défectueuse après son passage dans M2", on a :
2$\rm~p(A)~=~2%~=~\frac{1}{50}
On prend au hasard une pièce ayant subit les deux usinages.

1 -  Déterminer les probabilités des évènements A et B (ils nous les donnent, croisons les doigts pour que ce soit pareil au BAC )
Exprimer à l'aide des évènements A et B, les évènements :
C: la pièce est défectueuse pour les deux usinages par M1 et M2
D: la pièce est  défectueuse
E: la pièce ne présente aucun défaut

Pour que la pièce soit défectueuse pour les deux usinages, il faut que A et B soient réalisés. On a donc :
2$\rm~C~=~A\cap~B
Pour que la pièce soit défectueuse, il faut que A et B soient réalisés OU que juste A soit réalisé OU que juste B soit réalisé. On a donc :
2$\rm~D~=~(A\cap~B)~\cup~(A\cap~\bar{B})~\cup~(\bar{A}\cap~B)
Pour que la pièce ne présente aucun défaut, il faut que l'évènement contaire de A et celui de B soient réalisés. On a :
2$\rm~C~=~\bar{A}\cap~\bar{B}

3 - Calculer les probabilités des évènements C, D et E.
D'après ce que nous venons de voir, on a :
2$\rm~p(C)~=~p(A)\times~p(B)~=~\frac{1}{20}\times\frac{1}{50}~=~\frac{1}{1000}

2$\rm~p(E)~=~p(A)\times~p(B)~+~p(A)\times~p(\bar{B})~+~p(\bar{A})\times~p(B)
2$\rm~p(E)~=~p(A)(p(B)~+~p(\bar{B}))~+~p(\bar{A})\times~p(B)~=~p(A)~+~p(\bar{A})\times~p(B)
2$\rm~p(E)~=~\frac{1}{20}~+~\frac{19}{20}\times\frac{1}{50}~=~\frac{50}{1000}~+~\frac{19}{1000}
2$\rm~p(E)~=~\frac{69}{1000}

2$\rm~p(D)~=~p(\bar{A})\times~p(\bar{B})~=~\frac{19}{20}\times\frac{49}{50}~=~\frac{931}{1000}

Remarque : Ces résultats sont tout à fait cohérents puisque l'on remarque que p(D)+p(E)=1.

4 - Sachant que la pièce extraite est défectueuse, calculer la probabilité que la pièce présente des défauts d'usinage par les deux machines.
On vient de voir que le cas d'une pièce défectueuse représentait seulement 69 cas sur 1000 (p(D)), et on a également vu que de ces 69 cas, seulement 1 était dû à des défauts d'usinages par les 2 machines (p(E)). On en déduit facilement que la probabilité p que cette pièce présente des défauts d'usinage par les deux machines est égale à :

2$\rm~p~=~\frac{1}{69}

Remarque : On aurait pu également si on le préférait, utiliser la formule des probabilités conditionnelles, mais ce n'était pas vraiment nécessaire ici .

5 - Exprimer, à l'aide des événement A et B, l'événement O : « le défaut provient uniquement de la machine M2 » puis calculer la probabilité que le  défaut provienne uniquement de la machine M2 sachant que la pièce est défectueuse.
Pour que le défaut provienne uniquement de la machine M2, il faut que l'évènement contraire de A et que B soient réalisés. On a donc :
2$\rm~O~=~\bar{A}\cap~B
On obtient :

2$\rm~p(O|D)~=~\frac{p(O\cap~D)}{p(D)}~=~\frac{p(O)}{p(D)}   (car le fait que O soit réalisé implique que D soit également réalisé)
2$\rm~p(O|D)~=~\frac{p(\bar{A}\cap~B)}{p(D)}~=~\frac{p(\bar{A})\times~p(B)}{p(D)}
2$\rm~p(O|D)~=~\frac{\frac{19}{20}\times\frac{1}{50}}{\frac{69}{1000}}~=~\frac{19}{1000}\times\frac{1000}{69}~=~\frac{19}{69}

Conclusion : Sachant que la pièce est défectueuse, la probabilité que son défaut provienne uniquement de la machine M2 est de  2$\frac{19}{69}.



Exercice III

Dans une fabrication de N pièces, il y a K pièces défectueuses. On prélève, au hasard et sans remise, un échantillon de n pièces.

1 - On prélève une seule pièce calculons la probabilité que celle-ci soit défectueuse.
On a N pièces au total dont K sont défectueuses, on a donc une probabilité p que la pièce prélevée soit défectueuse égale à :

2$\rm~p~=~\frac{K}{N}

2 - On suppose, dans la pratique, que N est très supérieur à n, et que n est
supérieur ou égal à k (n k)
Calculer:
2-a la probabilité (P0) de n'avoir aucune pièce défectueuse dans le lot.
La probabilité de n'avoir aucune pièce défectueuse dans le lot est égale à :
2$\rm~p0~=~\frac{(N-K)(N-K-1)...(N-K-n+1)}{(N)(N-1)...(N-n+1)}~=~\frac{(N-K)!(N-n)!}{(N-K-n)!N!}

2-b la probabilité (P1) d'avoir une seule pièce défectueuse dans le lot.
La probabilité d'avoir une pièce défectueuse dans le lot est égale à :
2$\rm~p0~=~\frac{K(N-K)(N-K-1)...(N-K-n+2)}{(N)(N-1)...(N-n+1)}~=~\frac{K(N-K)!(N-n)!}{(N-K-n+1)!N!}

2-c la probabilité (Pq) d'avoir q pièces défectueuse dans le lot.
La probabilité d'avoir q pièces défectueuses dans le lot est égale à :
2$\rm~pq~=~\frac{(K)(K-1)...(K-q+1)\times(N-K)(N-K-1)...(N-K-n+q+1)}{(N)(N-1)...(N-n+1)}~=~\frac{K!(N-K)!(N-n)!}{(N-K-n+q)!(K-q)!N!}

2-d la probabilité (Pk )d'avoir toutes les pièces défectueuses dans le lot.
La probabilité d'avoir toutes les pièces défectueuses dans le lot est égale à :
2$\rm~pk~=~\frac{K(K-1)(K-2)...(K-n+1)}{N(N-1)(N-2)...(N-n+1)}~=~\frac{K!(N-n)!}{N!(K-n)!}


Je sais que cela peut être très difficile à comprendre, donc si tu as des problèmes, n'hésite pas à le faire savoir .

Application numérique: N=20 K=3 n=5. Calculer P0, P1 et Pk
Il suffit de prendre les formules trouvées précédemment et de remplacer les lettres par les valeurs numériques données. On a donc dans ce cas-ci :

2$\rm~p0~=~\frac{(20-3)!(20-5!)}{(20-3-5)!20!}~=~\frac{17!15!}{12!20!}
2$\rm~p0~=~\frac{15\times14\times13}{20\times19\times18}~=~\frac{2\times3\times5\times7\times13}{2\times2\times5\times3\times6\times19}
2$\rm~p0~~=~\frac{\times7\times13}{2\times6\times19}~=~\frac{91}{228}

2$\rm~p1~=~\frac{3(20-3)!(20-5)!}{(20-3-5+1)!20!}~=~\frac{3\times17!\times15!}{13!20!}~=~\frac{3\times15\times14}{20\times19\times18}
2$\rm~p1~=~\frac{3\times3\times5\times2\times7}{5\times4\times19\times3\times3\times2}~=~\frac{7}{4\times19}~=~\frac{7}{76}

2$\rm~pk~=~\frac{3!(20-5)!)}{20!(3-5)!}
Or, (3-5)!=(-2)! n'existe pas, donc PK est nulle, ce qui est logique car il y a plus de tirages que de pièces défectueuses. Il est donc par conséquent impossible que toutes les pièces tirées soient défectueuses.


Voilà .
Si tu as des questions, surtout n'hésite pas .

À +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1676 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !