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Probabilité et récurrence
Bonjour tout le monde, je suis actuellement en trai de me creuser la tête sur un dm de maths mais je (et presque toutes la classe compris) bloque sur une question de récurrence. Voici l'énoncé :
Une nouvelle attraction est ouverte dans un grand parc. Pour tout entier naturel non nul n, on note Pn = P(Tn) la probabilité de l'événement Tn: un problème technique se produit le jour n sur cette attraction ». On suppose qu'aucun problème technique ne se produit lors de la mise en service correspondant au premier jour. D'après des études sur les attractions existantes, il est supposé que:
• si un problème technique se produit le jour n, alors la probabilité qu'un problème technique se produise le jour suivant est 3/5 ;
• si l'attraction n'a subi aucun problème technique le jour n, la probabilité qu'un problème technique survienne le jour suivant est 2/7.
J'ai pu répondre à la moitié des questions mais comme je l'ai dit précédemment voici la question qui me pose problème : Démontrer, par récurrence, que la suite (Pn) est une suite croissante.
Pour l'instant je ne souhaite que comprendre ce qu'il faut faire en initialisation pour ensuite essayer de faire l'hérédité et répondre à la suite. Merci d'avoir lu jusqu'au bout, j'espère que vous pourrez m'aider 😁
bonjour,
peux tu montrer les premières questions et tes réponses?
la récurrence :
initialisation
tu peux montrer que P0 < P1 (1er jour : P0), en calculant P1 ?
Voici les questions :
1a. Préciser la probabilité de P1 -> elle est de 0
1b.Justifier 2/7 -> P1 pas d'accident donc proba de l'énoncé
2. Calculer la probabilité que l'attraction ne subisse aucun problème technique la première semaine -> j'ai fait (2/7)**6
3a. Compléter l'arbre pondéré : 2 étapes à deux branches, Tn et Tn barre dans la premiere étape et Tn+1 et Tn+1 barre dans la Deuxieme. -> dans la premiere étapes j'ai noté les probabilités Pn et 1-Pn et dans la deuxieme, les probabilité de l'énoncé.
3b. Calculer P(Tn inter Tn+1) et P(Tn barre inter Tn+1) en fonction de Pn. -> j'ai trouvé respectivement 3/5*Pn et (1-Pn)*2/7
3c. Exprimer Pn+1 en fonction de Pn -> là j'ai fais la somme des deux proba de la question précédente.
Et la prochaine question et celle que j'ai mis dans mon sujet en haut.
J'ai pensé à faire comme vous le dites Pn+1 > Pn mais apres je vois pas quoi utiliser pour la suite 😅
Bonjour,
En l'absence de Leile que je salue, je me permets d'intervenir très ponctuellement :
3)c) Tu as donc établi que
Démontrer, par récurrence, que la suite (Pn) est une suite croissante.
Je pense qu'il est utile de considérer là la propriété :
et la démontrer en bloc par récurrence.
Bonjour, je vois, ça me parait déjà plus clair 
Je ne pourrai pas essayer de résoudre la récurrence dans l'immédiat, j'ai eu un petit imprévu donc si j'ai un problème il se peut que je vous le communique demain. Merci beaucoup pour m'avoir éclairci ce problème 
Ce sera ma dernière intervention ici.
Bonne question !
Oui, ce semble arriver comme un cheveu sur de la soupe.
Tu as une suite définie par récurrence :
Autrement dit : où :
est la fonction affine
Pour l'hérédité de la récurrence, il est utile de constater que cette fonction est croissante (sur
)
est ce qu'on appelle le "point fixe" de
autrement dit ici la solution de l'équation
Revenons à la récurrence :
Je viens de m'apercevoir qu'on avait pas besoin de ce point fixe.
L'hypothèse de récurrence :
Avec la croissance de , on peut écrire :
Tu peux interpréter cette dernière inégalité et conclure.
Désolé d'avoir fait intervenir ce tout à fait inutile pour l'instant. (Mais je pense qu'on t'en parlera dans ton énoncé).
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