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probabilité et suite ... :s
pouvez-vous m'aider à résoudre ce problème ?
On étudie le mouvement aléatoire d'un puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A,B et C.
A l'instant 0,la puce est en A. Pour tout entier naturel n :
- si à l'instant n la puce est en A, alors à l'instant (n+1), elle est :
soit en B avec une probabilité égale à 1/3
soit en C avec une probabilité égale à 2/3
- si à l'instant n la puce est en B, alors à l'instant (n +1), elle est : soit en C, soit en A de facon équiprobable
-si à l'instant n la puce est en C, alors elle y reste.
On note (A)n (respectivement (B)n et (C)n) l'événement "à l'instant n la puce est en A" (respectivement en B et C)
On note (a)n (respectivement (b)n et (c)n) la probabilité de l'événement (A)n (respectivement (B)n et (C)n)
On a donc : (a)0=1 (b)0=(c)0=0
1. calculer (a)k, (b)k, (c)k pour k entier naturel tel que 1
k3
2. a) montrer que pour tout entier naturel n, (a)n+(b)n+(c)n=1 et
incollade : (a)n+1= 1/2 (b)n
(b))n+1= 1/3 (a)n
b) montrer quep our tout entier natureln, (a)n+2=1/6(a)n
c) en déduire que pour tout entier naturel p, incollade : (a)2p= (1/6)p et (a)2p+1=0
(b)2p =0 et (b)2p+1=1/3(1/6)p
3. Montrer que lim an=0 quand n tend vers + infini
on admet que lim bn=0 quand n tend vers + linfini. Quelle est la limite de (c)n lorsque n tend vers + infini ?
Merci d'avance pour votre aider, je ne demande pas forcement les réponses mais des pistes ...
Marie
j'ai fait un arbre pondéré pour essayer de me représenter la situation
en a0 la puce est en A donc en b1 elle est en B avec une proba de 1/3 ou en c1 avec une proba de 2/3
en a0 la puce est en A donc en b1 elle est en B avec une proba de 1/3 ou en c1 avec une proba de 2/3
attention aux notations,
pour n=0, la puce est en A donc p(A0)=a0=1
pour n=1, la puce est en B avec une proba de 1/3 donc b1=1/3
la puce est en C avec une proba de 2/3 donc c1=2/3
pour n=2 , soit la puce passe de B vers A ou de B vers C
soit la puce reste en C
a2? b2? c2?
la puce passe de B vers A avec une proba de 1/2
ou la puce passe de B vers C avec une proba de 1/2
a2= 1/2
c2= 1/2
remarque aussi que a1=0
la puce passe de B vers A avec une proba de 1/2 SI ELLE ETAIT EN B AVANT
a2= p(Bavant ET A)=p(Bavant)*p(A/B)=....
la puce reste en C ou bien passe de B vers C
c2= p(Cavant) + p(Bavant ET c)=....
remarque b2=0... aucune chance d'arriver de A puisque a1=0
si j'ai tous compris a2= 1/2 * 1/3 = 1/6 ?
et c2= 2/3*1/2=2/6=1/3 ?
ok pour a2
pas pour c2, il y a deux cas séparés(événements incompatibles) à ajouter...
la somme des trois probas donne 1, on est soit en A, soit en B, soit en C...
donc a2= 1/6
et b2= je trouve un nbr supérieur à 1 car si je fais 1/2 + 2/3 sa fait 7/6
nan c'est bon j'ai compris il faut faire
b2= 2/3+1/3*1/2=5/6 !!!!
je suis forte :p
faut calculer a3, b3 et c3 ?
pour n =3 la puce passe soit de A vers B soit de B vers A
donc a3= 0 non ? on recommence comme o début ?
non...
a2=0 la puce ne part pas de A
a3= p(la puce part de B et arrive en A)=........ (5/12)
b3= 0 la puce ne peut pas rester sur B et ne peut pas y arriver puisqu'elle n'était pas en A
c3 = p(Cavant) + p(Bavant ET C)=....
je vais te laisser continuer...
je vais me coucher ... merci bcp je verai la suite demain !!
au revoir garnouille et merci encore kiss
bonjour !! je ne comprend pas pour a3 pour moi pour n=3 a=0 car ya pas de probabilité de tomB sur le A
bonjour !! je ne comprend pas pour a3 pour moi pour n=3 a=0 car ya pas de probabilité de tomB sur le A
pas d'accord avec, si la pce était sur B(avec b2=5/6) , elle tombe sue A ou C (équiprobabilité d'où 1/2)...
reprenons
n=0 , la puce est en A
n=1 la puce est en A ou C
si la puce est en C, elle y reste
si la puce est en A, elle saute sur B ou C
donc la puce ne sera plus sur A
n=2 , la puce est en B ou C
n=3 la puce est en A ou C
n=4 la puce est en B ou C
.....
comprends d'abord les positions de la puce, après, tu cherches les probas...
moi j'ai compris de l'exercice que :
en n=0 la puce est en A
en n=1 la puce est en B avec une proba de 1/3 ou C avec une proba de 2/3
en n=2 la puce passe soit de B et A avec une proba de 1/2 soit en C avec une proba de 1/2
en n=3 la puce passe soit de A à B avec une proba de 1/3 ou soit de de A à C avec une proba de 1/3 on se retrouve dans la meme situation qu'en n=0
en n=2 la puce passe soit de B et A avec une proba de 1/2 soit en C avec une proba de 1/2
NON...
si la puce était en C, elle y reste... toujours avec 2/3
si elle était en B, (1/3) elle saute sur A avec 1/2 d'où 1/3*1/2=1/6
ou elle saute sur C avec 1/2 d'où 1/3*1/3=1/6
tu vérifies 2/3+1/6+1/6 = 1 ok, tout va bien
la puce est en A ou en C
elle reste en C si elle y est (2/3) ou si elle saute de A vers C (../...)
c3 = 2/3 +.../...*.../....
sinon, la puce saute de A vers B....
la puce n'est plus sur B et ne peut pas y sauter : b3=0...
je vois la chose comme celà
B .....
1/3
A
1/2 2/3
B C
1/3 1/2
A C
2/3
C
n=0 n=1 n=2 n=3
ben, moi aussi!... mais n'oublie pas que la puce reste en C quand elle y tombe
donc c1=2/3 mzais c2 =2/3 +p(la branche qui tombe sur C)
il faut multiplier les probas en parcourant les branches...
et vérifie que tu as bien 1 quand tu ajoutes an, bn et cn
si je resume ! on va y arriver ^^
a1=0
b1=1/3
c1=1/3
a2=1/6
b2=0
c2=5/6
a3=1/6
b3=0
c3=5/6
a1=0
b1=1/3
c1=1/3
a2=1/6
b2=0
c2=5/6
jusque là , ok
la puce reste en C ou passe de A vers (B ou C)
la puce n'est plus en A donc c'est a3=0
b3=1/6*1/2=1/12
c3=5/6+1/6*1/6=11/12
il y a eu des erreurs dans nos échanges...
soit elle reste en C
soit elle va en B ou en C
la puce n'est plus sur A donc a3=0
la puce était en A avec une proba égale à 1/6 et saute sur B avec une proba de 1/2 donc
1/6*1/2=1/12 (elle est sur B)
la puce était sur A et saute sur C avec une proba de 1/2 donc 1/6*1/2=1/12 (elle est en C)
la puce était sur C et elle y reste à 100%... donc encore 2/3 pour C
c3=....+.....
et voilà.....
b3= 1/12
c3=1/12*2/3=8/12 mais sa fait pas 1 :s
oké j'ai compris honte à moi !!!! sa se voit que c'est la fin de la semaine !
je vais essayer de faire la question 2
merci de votre patience
il faut faire une démonstration par récurence ?
oui, mais ce n'est pas du temps perdu...
à mon humble avis!!
tu t'es accroché(e)... tu as cherché... et moi, je n'ai pas craqué!!!
viii on est trop forte :p mais les probas je les deteste !!!! le reste ca va nikel mais ca je bloke complet!
accroche-toi, tu auras peut-être un "déclic"... et alors, tu trouveras ça très drôle!
tout est relatif, bien entendu!
2. a) montrer que pour tout entier naturel n, (a)n+(b)n+(c)n=1 et
incollade : (a)n+1= 1/2 (b)n
(b))n+1= 1/3 (a)n
faut-il faire un raisonnement par récurence ?
ui je maccroche !! je suis pas du genre à baisser les bras
ou généraliser tout ce que tu as compris sur les premiers calculs...
je te laisse car moi qui vis aux Antilles, j'ai un cours dans 10 minutes...
pas de probleme je vais aller me coucher je continuerai demain !!! car je suis crevée !
bonne journée
merci
bonjour !
etes vous disponible pour continer l'exercice ?
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